双目标优化：能源感知与延迟敏感的无人机配送策略

论文题目：Energy-Aware and Delay-Sensitive Management of a Drone Delivery System

第一作者：Weiliang Liu 香港中文大学助理教授，研究利用随机建模与控制、排队理论、优化和数据分析，解决复杂的运营挑战，重点关注现代服务运营、社会责任运营和数据驱动排队控制。

E-mail：wlliu@se.cuhk.edu.hk

通讯作者：Xu Sun，迈阿密大学赫伯特商学院助理教授，研究随机运筹学与服务运营管理，核心聚焦于排队系统的动态控制、定价策略及资源分配，特别关注模型不确定性、能源感知调度以及按需服务平台的劳动力管理。

E-mail：xusun@ufl.edu

双目标优化：能源感知与延迟敏感的无人机配送策略

论文摘要

该论文研究无人机配送系统在能源消耗和延迟控制之间的权衡问题。作者考虑一个由有限电池续航的无人机（单机或多机）承担多地点配送任务的场景。需求地点之间距离不同，服务时限也存在差异，操作人员可以通过调整飞行速度、任务排序和接单策略来优化系统表现。论文设置两个管理目标：

• 能耗与拥堵成本最小化：包括额外加速带来的能源成本和超时拒绝造成的罚损。
• 电池交换次数最小化：在满足服务质量要求的同时尽量减少电池更换频率。

作者首先利用扩散近似构建了布朗运动控制问题(Brownian Control Problem, BCP)，推导出理论上优化第一目标的速度调整策略。然后引入一个线性规划确定的活动(activity) 组合，用以指导任务排序，从而兼顾第二目标。两部分结合形成了一套可实施的速度控制、作业顺序和接单策略，在模拟实验中验证了其有效性，表现出比传统类优先规则更低的能耗和电池更换次数。

一、研究背景与问题定义

1.1 无人机配送的兴起与挑战

随着电商和物流企业对配送效率要求的提高，无人机在商业配送和应急救援中被广泛关注。然而，电池续航限制使得单架无人机能飞行的总距离受限，需要频繁更换电池。此外，不同配送点的距离和服务时间要求各异，如何在有限电池下保证及时配送成为关键。

1.2 研究问题

论文考虑以下要素构成的左右结构模型：左侧是以能源消耗为核心的能效指标，右侧是以服务延迟和拒单成本为核心的客户服务指标。核心问题是设计控制策略，使无人机在配送过程中同时优化两个目标：

• 最小化额外加速所消耗的能量及拒绝服务的成本。
• 在满足各类任务的服务时限（lead time）约束下，最小化电池交换频率。

为了描述无人机配送系统，作者采用 多类排队模型，不同地点的订单视为不同类别，每类具有到达速率 、飞行距离  和服务时限 。无人机在同一时刻只能处理一个订单，因此需要决定作业顺序。

1.3 管理目标与控制决策

系统运营者有三类可控决策：

• 速度控制：调整飞行速度，以额外能耗换取更短的服务时间。
• 序列决策：决定当前电池周期内各任务的执行顺序。
• 接单策略：当系统负荷超标或电量不足时拒绝某些任务。

这些决策需要在满足服务时限的前提下协同工作，兼顾能耗与延迟。

二、模型构建与方法框架

2.1 布朗运动近似与重负荷条件

为了求解复杂的随机控制问题，论文利用了重负荷近似（heavy-traffic approximation）。假定总到达率  很大，系统利用率接近 1，满足

其中  是单位任务的标准服务时间。该近似将多类排队系统的队长过程缩放后逼近为受限制布朗运动。这样可将优化问题转化为 布朗控制问题，其目标函数形如

其中  为调整飞行速度的控制过程， 为在服务范围约束下需拒绝的任务累计数， 为单位能耗成本函数， 为单位拒单成本向量。

2.2 等效工作负载与贝尔曼方程

作者进一步定义了工作负载，并利用反射布朗运动描述其动态：

其中  为布朗运动， 与  分别为保持工作负载不出界的反射过程。

为找到最优速度控制，作者求解相应的贝尔曼方程：

并证明该方程存在唯一增函数解  与常数 。函数  的梯度反映在不同工作负载下加速的边际效用。

2.3 速度控制策略

在完成上述求解后，速度控制策略可表示为

该策略意味着在工作负载较高时，提高速度能带来更多的等待成本节省，从而会选择较大的加速比例 ，反之则保持接近名义速度 。

2.4 活动定义与线性规划下界

为了同时考虑第二个目标——降低电池交换频率，作者将传统的“类优先”序列决策扩展为基于 活动（activities） 的组合。每个活动  用向量 表示，在一个电池周期内按比例完成不同类别的任务。不同活动的组合满足流量平衡约束。通过线性规划

得到的最优解  给出了电池交换率的理论下界。该规划解通常只包含  个非零活动，称为 最佳活动组合（Best Activity Combination, BAC）。

三、策略设计与实现

3.1 活动优先的序列策略

传统类优先策略容易在优化能耗目标的同时使电池浪费严重。为弥补这一缺陷，作者提出 活动优先策略。具体步骤如下：

1. 在每个新电池周期开始时统计各类队列长度 。
2. 如果所有 （安全库存水平），无人机暂时空闲，直至某类队列超过 。
3. 计算目标队列配置 ，使得  且  之间保持比例相同，其中  为第  类任务的服务时限。
4. 计算队列不平衡向量 ，根据活动集合中各活动的矢量方向 ，选择能最有效纠正不平衡的活动。
5. 利用令牌分配法执行所选活动：为每类分配  个令牌，优先服务令牌多的类别，直至令牌用完或达到工作负载上界。

该策略使无人机在电池周期内按照 BAC 中的活动顺序工作，从而在满足延迟约束的同时减少电池更换。

3.2 安全库存与拒单控制

为避免极端情况（某类订单过少或过多）导致过度空闲或浪费电池，论文引入了安全库存参数  。当某类队列长度降至  以下时，该类暂不参与活动选择，以抑制频繁的边缘情况。接单策略则在达到工作负载上界  时拒绝成本最低的任务类别。

3.3 整体控制框架

综上，系统运行包含以下三类控制，如图示流程：

• 速度控制利用贝尔曼方程求得的  调节飞行速度。
• 活动优先的序列控制按照 BAC 选择活动并通过令牌驱动任务排序。
• 接单控制在工作负载超标时拒绝部分任务，并根据安全库存避免极端情况。

这些控制决策在不同时间尺度上运行：速度与拒单决策依据整个系统的工作负载，变化较慢；序列决策则在每个电池周期内动态调整，变化较快。

四、模型校准与数值实验

4.1 能耗函数与参数设置

作者利用已有实验数据对无人机的能耗—速度函数进行拟合。选取某型四旋翼无人机在加载状态下的能耗数据点 ，通过二次函数近似

得到每单位距离的额外能耗。进而计算加速成本函数 ，其中  为相对加速比例。通过设计参数 （服务时间因子）和 （拒绝成本因子），分别控制服务时限紧迫程度和拒单成本。

在所用实例中，三处配送点距离设为 ，服务时限 ，到达率满足 ，并使 。

4.2 基准策略与对比

实验比较以下策略：

• 提出的活动优先策略：利用 Brownian 控制 + BAC；
• 朴素类优先策略：按  最大的任务类别优先；
• 改进类优先策略：在朴素策略的基础上考虑剩余电量；
• 速度基准策略：始终保持名义速度或最大速度。

并通过蒙特卡洛模拟评估指标：平均能耗、拒单数量、电池交换频率、违时率等。

4.3 实验结果分析

4.3.1 服务时间因子变化

下图展示在不同 （服务时间因子）下，活动优先策略的平均成本及误差区间。随着服务时限放宽 ( 增大)，模拟成本逐渐接近理论最优值并下降，而加速比例降低、违时率下降，电池交换率也趋近 LP 下界。

4.3.2 拒单成本因子变化

拒单成本因子  提升时（下图），策略会更倾向通过提速来减少拒单，导致能耗上升；但总体成本依然接近理论值，违时率和电池交换率均保持较低水平。

4.3.3 类优先 vs 活动优先

图3 比较了不同序列策略在各  下的能耗和电池交换率。活动优先策略无论安全库存  还是 ，在两项指标上均优于朴素类优先和改进类优先策略。尤其是在电池交换频率上，活动优先明显减少更换次数。

4.3.4 多无人机扩展

论文进一步将策略拓展到多无人机系统。当有  架无人机时，将名义速度放大  倍，并按比例分配服务时间 。实验表明，随着无人机数量增加，系统成本和电池交换率均趋向于理论下界，表现出明显的池化优势。

4.4 总体评价

模拟结果表明，提出的活动优先控制能够在满足服务时限的同时，将能耗与拥堵成本控制在接近理论最优值。与传统类优先策略相比，活动优先策略不仅能有效减少电池交换次数，而且能够根据系统负荷灵活调节速度、避免过度提速或过早更换电池。

五、讨论与创新点

5.1 安全库存的作用

安全库存参数  用于减少极端情况发生，保证系统在工作负载低时不盲目换电。理论分析显示，可将  设计为与  同阶的小量。适当提升  会略微增加能耗，但显著改善电池利用效率。

5.2 活动优先策略的优势

与传统类优先基于瞬时队长比例不同，活动优先策略利用 令牌机制 强制无人机在一个电池周期内按预定活动组合执行多类任务。这种方式兼顾了工作负载动态和电池利用效率，在两目标上实现接近最优的平衡。数值实验也证明，其电池交换率比改进类优先策略低得多。

5.3 多无人机适用性与未来扩展

论文讨论了多无人机场景下的延伸，将速度控制、序列决策和接单策略推广到多个异质无人机系统。未来可进一步考虑电池更换时间不再忽略、无人机异质化（续航、速度不同）等更现实的情形。

5.4 创新点总结

• 左右结构的双目标优化：同时优化能耗(左)与延迟/电池更换(右)两大目标，并通过布朗控制与 LP 集成解决。
• 布朗运动控制在无人机调度中的应用：采用重负荷扩散近似与贝尔曼方程求解速度控制，是对复杂排队系统控制的有价值延伸。
• 活动优先的序列设计：在多类任务排序问题中引入活动概念，证明其比传统类优先更能接近理想电池利用率。
• 可扩展性强：策略框架既适用于单架无人机，也可推广到多无人机场景，具有良好的工程应用前景。

六、结论

本文对无人机配送系统的能耗与服务质量调度问题进行了系统研究。论文通过重负荷近似建模、贝尔曼方程求解和活动优先策略设计，提出了一套综合控制框架，实现了能耗与延迟两方面的兼顾。数值实验表明，该策略能在各类参数设置下达到接近理论最优的表现，并有效降低电池交换次数。该研究不仅为无人机物流运营提供了理论指导，也为面向双目标优化的排队系统控制提供了新的思路。

原文链接见文末，或扫下方交流群二维码。群内实时更新推文及原文 pdf，方便专家学者随时获取（若二维码失效，请翻阅扫描最新文章的二维码）。