混合车流场景：马尔可夫链与集群强度解析

论文题目：Unveiling traffic capacity in the mixed HV and CAV environment: A theoretical approach with CAV clustering intensity

第一作者：李同飞 北京工业大学副教授，长期从事复杂交通系统建模与分析、网联自动驾驶、合乘出行等前沿方向的研究工作。

E-mail：tfli@bjut.edu.cn

通讯作者：许敏 香港理工大学工业工程系副教授，研究聚焦于运筹学与数据分析，在基础实施、物流和交通等复杂系统中进行智能决策、人机交互、博弈论等政策学习和预测建模。

E-mail：min.m.xu@polyu.edu.hk

混合车流场景：马尔可夫链与集群强度解析

论文摘要

在人类驾驶车辆（HV）与联网自动驾驶车辆（CAV）长期共存的道路上，道路容量不再是固定常数，而是受 CAV渗透率、最大列队规模和车辆空间分布 等多重因素影响的随机变量。传统研究常假定异构车辆完全随机排列或忽略列队规模限制，使得对混合车流容量的估计缺乏普适性。本研究提出 CAV集群强度 指标，用于量化纵向车道上CAV聚集程度，其具有明确的物理意义和显式表达式。在此基础上，通过 马尔可夫链模型 描述车辆类型序列的随机性，推导出以渗透率、最大列队规模和集群强度为变量的混合车道容量解析式。随后，基于线性规划建立车辆排列模型，解析求得容量的上下界，并通过仿真计算不同技术情景下容量的均值、方差和分布。研究表明，不同驾驶安全间隔设置下，容量对CAV渗透率的响应可能完全相反，且集群强度是影响容量的关键因素。本文既统一了既有研究的多种特殊情况，也为道路规划和交通管理策略提供了理论基准。

一、研究背景与问题定义

1.1 混合交通的复杂性

• 随着CAV技术的发展，车辆可通过协同控制形成紧密列队，从而缩短安全时距、提高道路吞吐能力。然而短期内HVs仍大量存在，二者在同一路段混行使得车头时距与车辆组合状态相关，容量成为复杂的随机变量。
• 混合车流下车辆纵向分布并非完全随机：CAV可能聚集成列队，列队规模受通信范围、稳定性等限制。如何刻画这种分布并在不引入过度简化假设的情况下建立容量模型，是当前研究的难点。

1.2 传统研究局限

• 多数研究假定异构车辆完全随机排列或CAV可无限组队，难以描述不同情景下的实际分布。
• 常用的 CAV列队强度 指标通过校准获得，缺乏明确的物理意义，且转移矩阵外生设定，难以统一分析。
• 缺乏对容量上界、下界的严格推导，无法评估车队协调策略的潜在收益。

二、模型框架与方法

2.1 车辆跟驰类型与安全间隔

根据后车类型、前车类型以及CAV是否属于同一列队，可将混合车流的车辆跟驰模式分为五类：

• HH：HV跟随HV；
• HC：HV跟随CAV；
• CH：CAV跟随HV；
• CP：CAV跟随达到最大规模的CAV列队（列队间跟驰）；
• CC：CAV跟随同一列队内CAV（列队内跟驰）。

每种跟驰模式对应一个安全时距。下图给出了跟驰关系和车辆对的示意。

2.2 CAV集群强度指标

为定量描述纵向车道上CAV的聚集程度，提出 CAV集群强度 (E) 指标。它定义为混合车流中CAV‑CAV车对所占比例与CAV渗透率的比值：

其中  为CAV‑CAV车辆对的比例， 为CAV渗透率。当所有CAV均单独行驶时 ，当全部CAV紧密聚集时 。该指标易从实测轨迹中计算，是衡量CAV合作水平的实时诊断变量。

为了直观理解，图2展示了不同车辆分布情形：CAV完全分散、完全聚集和周期分布等。

2.3 马尔可夫链模型

由于车辆类型在车队中的排列是随机的，可用 马尔可夫链 表示车辆序列。将车辆编号为，令  表示第  辆车的类型（1 表示 HV，2 表示 CAV），则车辆序列  构成二状态马尔可夫链。其一阶转移矩阵为

其中  表示类型为  的车辆后紧跟类型为  的概率。通过车辆对比例守恒条件和集群强度，可以推导出转移概率：

这些公式严格将转移概率表达为渗透率和集群强度的函数，而非任意设定。特殊情况下，当所有CAV聚集时 ，CAV后仍是CAV；当CAV尽可能分散时则  或 。

2.4 CAV队列规模分布与平均车头时距

马尔可夫链确定了车辆序列后，可进一步求得 CAV列队规模分布。设最大列队规模为 ，推导得到列队长度为 的概率：

表明集群强度越大，大型列队出现的概率越高。

平均安全时距  为各类型时距加权平均，车道容量等于其倒数 。将上式代入，得到混合车道容量的显式表达式：

这一公式将容量精确表述为CAV渗透率、最大列队规模和集群强度的函数，是传统众多结果的推广。在渗透率和列队规模已定的情况下，容量可视为集群强度的单变量函数。

三、容量上下界与单因素影响分析

3.1 混合车道容量显式表达

通过式 (33) 可以看到三个外生参数的作用：

• CAV渗透率 (P_C) ：代表联网自动车的普及程度；
• 最大列队规模 (L) ：受通信距离和稳定性限制；
• CAV集群强度 (E) ：描述车辆纵向排列。

当忽略列队规模限制或假设车辆完全随机排列时，式 (33) 可简化为以往研究的公式。作者指出，以往使用的 CAV列队强度 通过校准获得，缺乏对车辆空间分布的直接解释，而本文的 集群强度 则具有明确物理含义，并由马尔可夫链内生地推导出转移矩阵和容量表达式。

3.2 单因素分析与关键引理

作者通过严格证明列举了多条引理，揭示容量与各参数的关系（此处仅概述结论）：

• 当安全时距满足  时，容量随  CAV渗透率  单调增加；反之则可能下降。
• 若列队内跟驰时距  小于列队间跟驰时距 ，容量随  最大列队规模  增加；若  则增加列队规模反而降低容量。
• 在多数实际情景下，容量随  集群强度 E  单调上升，即CAV越聚集、容量越高，但如果列队过长导致列队间时距过大，也可能出现反向趋势。

这些结论表明，安全时距的设定决定了容量与渗透率、列队规模的关系，不同技术情景下可能得出完全相反的结论，因此不能简单认为提升CAV渗透率一定提高容量。

3.3 容量界限模型与解法

为求得容量的上界和下界，作者将车辆排列转化为 线性规划 问题：在给定渗透率、列队规模和安全时距的情况下，通过调整车辆顺序使平均时距最小或最大。无限列队规模情况下，容量上界出现在  集群强度 (E=1) （所有CAV聚集），下界出现在

（尽可能分散）。有限列队规模时，还需考虑饱和列队与非饱和列队的组合，模型中引入了列队长度概率  等新变量。通过求解这些模型，得到了各参数下容量的最大值与最小值，并分析其对应的车辆分布。

四、仿真验证与多情景解读

4.1 情景设定与实验设计

为了验证理论分析，作者设定三种安全时距场景以代表CAV技术发展阶段：

• 激进场景：CAV间能保持极小的时距；
• 中庸场景：CAV性能适中；
• 保守场景：CAV与HV差异较小。

每种场景给定五类跟驰模式的具体时距（见论文表9），最大列队规模设为 。通过马尔可夫链生成车辆序列，计算容量的均值、方差和概率分布。

4.2 混合容量与集群强度的关系

图3展示了混合车道容量随CAV渗透率和集群强度变化的热度图。横轴为渗透率，纵轴为集群强度，颜色代表容量值。激进和中庸场景下，容量随渗透率和集群强度同时增加；保守场景下，随着渗透率的增大容量反而下降。

这一结果强调了在安全时距较大的保守场景中，大量CAV未形成紧密列队，导致效率下降。相反，在激进场景下，提高渗透率和集群强度均能显著提升容量。

4.3 容量上界下界变化

图4展示不同技术情景下，容量随CAV渗透率变化的曲线及其可能范围。实线代表期望容量，阴影区域为由线性规划模型求得的上界和下界。

可见激进场景的容量上限最高，中庸场景次之，保守场景最低；同时，容量的波动范围随着渗透率变化而变化，表明车辆排列对实际容量影响很大。此外，作者比较了有限列队规模与无限规模的差异，当列队规模受限时容量会降低，两者差异随渗透率变化而变化。

4.4 期望与方差

对大量随机序列计算发现，激进和中庸场景下容量均值随渗透率先增后降，保守场景持续下降。容量方差方面，中庸场景最大，激进场景次之，保守场景最小。这说明技术进步虽提高平均容量，但也带来更大的波动性。

4.5 概率分布特征

作者进一步绘制了容量的概率分布曲线，发现随着渗透率增加，分布的形态和宽度发生变化。在中庸场景下，当渗透率约为0.5时，容量分布最宽，表明不确定性最大。这些统计特征为道路管理提供了风险评估依据。

五、创新点、讨论与展望

创新贡献：

• 提出CAV集群强度指标：具有明确物理意义，能从实时数据中测量，克服了以往列队强度的局限。
• 内生推导转移矩阵：通过马尔可夫链严格计算车辆序列转移概率，将渗透率和集群强度联系起来。
• 统一的容量解析式：式 (33) 包含了既有研究多种假设下的结果，形成适用于任意参数组合的通用框架。
• 容量上下界求解：将车辆排列转化为线性规划问题，首次给出混合车流在有限和无限列队规模下的容量上界和下界，并解释其现实意义。
• 全面仿真验证：在三种技术情景下验证理论分析，展示平均容量、方差及分布特征，为决策提供定量依据。

未来展望：

作者指出，未来可考虑在交通网络层面研究CAV专用车道、收费车道等策略对容量随机性的影响；扩展模型以涵盖多种类型CAV及通信延迟；结合微观仿真研究列队行为与换道对集群强度的影响。

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