城市交通拥堵建模：基于基本图的动态排队模型

论文题目：A fundamental diagram-consistent fluid queue model for dynamic throughput under heavy traffic congestion

第一作者：潘芋燕，曾任宾夕法尼亚州立大学博士后，研究方向：公共交通、CAV、电动车、交通需求管理、智能出行中的机器学习应用、交通状态估计与预交通流理论、交通网络优化。

E-mail：yuyananniepan@gmail.com

通讯作者：胡显标，宾夕法尼亚州立大学（PSU）土木与环境工程系副教授，研究重点包括智能出行系统、动态系统建模、车辆技术、主动需求管理、自动驾驶车辆和电动车，《IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems》 Associate Editor、《Journal of Intelligent Transportation Systems》 Associate Editor、《Transportation Research Record》 Handing Editor、《The International Journal of Transportation Science and Technology》 Associate Editor。

通讯作者：周学松，亚利桑那州立大学（ASU）可持续工程与建筑环境学院教授，现任《Urban Rail Transit》Executive Co-Editor-in-Chief，同时担任《Transportation Research Part B: Methodological》Senior Associate Editor以及《Transportation Science》Associate Editor。周教授的研究领域包括多模式交通规划应用中的方法论应用，主要涉及动态交通分配、交通状态估计与预测、大规模路径规划和铁路调度等方面。周教授主导开发了多个开源软件包，如DTALite、NEXTA和OSM2GMNS，这些软件包已在多个大都市规划机构和州交通部门得到了广泛应用和超过10万次下载。

城市交通拥堵建模：基于基本图的动态排队模型

论文摘要

本文关注高速公路瓶颈出现严重拥堵时的排队与出流问题。传统排队模型通常假定瓶颈吞吐量为常数，忽视了严重拥堵下出流会随队长、密度等变化而下降，导致预测误差。为此，论文引入基本图一致的流体队列（FDQ）模型，将基本图中流‑密关系嵌入排队模型，建立出流与排队长度之间的函数关系，并提出多项式形式和分段形式两种模型。作者通过理论推导得到了到达率、出流率、队长和等待时间的解析表达式，提出了效率评价指标和策略分析方法，用于评估需求管理和供给改进对拥堵的影响。通过大量实证校准，结果表明动态吞吐模型显著降低了排队和延误计算误差，适用于重度拥堵条件，并可为管理策略提供量化支撑。

一、研究背景与问题

1.1 基本现象与研究动机

• 高速公路瓶颈常在高峰期间形成长队列，导致车辆排队时间延长、吞吐下降；传统流体排队模型将瓶颈出流视为常数，不能反映拥堵下排队长度增大导致出流下降的现实。
• 多项实证研究显示，道路过饱和时下游静态容量并不适用，而是随密度超出临界值而降低，呈现近似线性或非线性关系。
• 通过引入基本图（Fundamental Diagram, FD）描述密度与流率关系，并将其约束与排队长度关联，可以更准确地模拟重度拥堵下的动态吞吐。

1.2 核心问题

本文要解决的关键问题是：如何在流体排队模型中刻画重度拥堵下吞吐率随排队长度变化的动态特性？具体包括：

• 映射关系构建：如何将排队长度转换为道路密度或超密度，并用基本图推断当前吞吐？
• 模型形式选择：在三角形基本图、二次基本图等多种流‑密关系下，出流与队长的函数关系应如何表达？
• 理论求解与策略评估：在满足基本图一致性约束下，如何推导出队长、等待时间、延误等指标的解析形式，并用于效率评价？

二、理论框架与模型构建

2.1 传统流体排队模型回顾

流体排队模型将车辆视为连续流体，通过到达率  与离开率  的差异决定队列演化。传统模型假定  等于瓶颈静态容量，即使在重度拥堵期间依然不变，因此无法捕捉实际观察到的出流下降现象。

2.2 基本图一致假设

为使排队模型反映真实交通特性，论文提出基本图一致假设：

• 假设1：队长与超密度线性映射。 定义队长  等于道路空间内的超密度  乘以常数 。即：

  其中  为基本图临界密度。

• 假设2：吞吐率随超密度线性或非线性下降。 在三角形基本图下，吞吐率  随队长线性减少：

  其中  为静态容量， 为吞吐率下降系数。

• 二次基本图下，吞吐率呈二次函数：

  其中  为关于队长的二次函数，用以更好刻画高密度条件下的非线性出流下降特征。

下图展示了三角形和二次基本图以及对应的出流下降趋势。

2.3 动态排队评估机制

论文以动态排队评估框架解释模型构建过程。如下图所示：

• (a) 部署监测站与瓶颈区；
• (b) 追踪排队区的车辆轨迹；
• (c) 传统模型假设吞吐率恒定；
• (d) 本文模型则让吞吐率随队长动态变化；
• (e) 在常定吞吐假设下，到达与离开累积曲线平行；
• (f) 动态吞吐下，离开曲线弯曲反映出流下降。

借助动态吞吐模型，可捕捉实际排队区车辆加速与减速行为，预测更准确的累积到达、离开和等待时间。

2.4 模型形式：多项式与分段函数

作者提出两类模型：

1. 多项式模型（FDQ‑PN）：基于三角基本图，利用三次多项式表示到达率、出流率和队长。其净流函数  在拥堵期间呈抛物线，三次函数系数由边界条件确定。该形式可得到解析解，便于延误计算。
2. 分段模型（FDQ‑PW）：采用分段线性或分段二次函数来近似出流下降曲线。该模型适合需要匹配实际测量点的情况。

作者进一步推导出两种模型下到达率、离开率、队长 、累计离开曲线  以及平均等待时间  的解析表达式，并给出数值迭代方法求解等待时间。

下图展示了多项式模型下到达率、吞吐率、队长及净流量的理论曲线。

三、关键公式与理论求解

在满足基本图一致假设下，作者推导了一系列关键公式，这里给出最核心的几个（标注论文中对应公式编号）：

• 吞吐率与队长关系（三角基本图）：

  当队长  超过零时，吞吐率随队长线性下降；队列消散前出流逐渐恢复到容量。

• 队长的解析表达式（多项式模型）：

  其中  和  分别为拥堵开始与完全消散时间， 为由到达率与吞吐率边界条件唯一确定的多项式系数。

• 等待时间迭代公式：

  通过迭代更新可得到每个时间间隔的平均等待时间，直至收敛。

• 总延误与平均延误：

  其中  为累积到达曲线；总延误  与队长的时间积分成正比。

这些公式构成了动态排队模型的数学基础，使得拥堵演化和延误评价可解析求解。

四、数值实验与实证分析

4.1 数据来源与校准方法

作者选取美国洛杉矶 I‑405 和凤凰城 I‑10 高速公路走廊作为实证对象，收集了多个工作日的交通监测数据，并使用流‑密散点图校准基本图参数（容量、自由流速度、临界密度、拥堵波速等）。例如，I‑405 北行段共有 37 个监测站，瓶颈位于 Slater Ave 出口，走廊布局如图所示。

校准结果显示，三角基本图（Triangular FD）更适合重度拥堵下的实测数据，而二次基本图仅适用于特定路段。

4.2 动态吞吐模型性能

比较传统常定吞吐模型与动态吞吐模型的拟合效果，作者发现后者显著降低了到达‑离开曲线的误差。下面的多日 RMSE 分布展示了这一优势：动态吞吐模型的误差分布整体左移，说明预测更精准。

而传统模型假定吞吐率恒定，无法解释队列增长期间的吞吐下降，导致误差偏大。

4.3 预测与评价指标

利用动态模型，作者对拥堵区的峰值队长 、总延误  以及平均延误  进行了预测和交叉验证。结果显示：

• 队长与延误预测更准确，相对误差大幅减少；
• 跨日鲁棒性好，同一路段不同日期的模型参数保持稳定；
• FDQ‑PN（多项式）与 FDQ‑PW（分段）均优于基准模型，其中多项式模型在计算效率和精度方面均表现最佳。

五、效率分析与策略评估

在具有动态吞吐的流体模型基础上，作者提出了评估交通管理策略的框架。主要思想是通过修改到达率或吞吐率，观察峰值队长和延误的变化，并计算效率改进。

• 需求侧策略：通过限流、价格或出行需求管理降低到达率 。当需求下降  时，队列峰值和总延误相应减少，可量化节省的出行时间。
• 供给侧策略：通过临时增设应急车道、开辟硬肩或提升下游控制提升吞吐率 。因出流提升对队列消散具有直接作用，效果一般更显著。
• 需求‑供给耦合策略：同时调整到达率和吞吐率，以更好地匹配交通供需。

作者给出了一个计算效率提升的算法，并通过数值实验验证不同策略的收益（总延误减少、行程时间缩短）。

下图展示了三种策略下的效益示意。

图中横轴为控制力度，纵轴为延误减少比例。可以看出，适度供给提升或需求管理均可显著减轻拥堵。

六、讨论、局限与未来工作

作者在讨论中指出，动态吞吐模型具有以下应用前景与挑战：

• 实施可行性：模型的输入为监测站的流量或速度，可与现有 ITS 系统直接对接，适用于现场决策和交通仿真。
• 与仿真平台集成：模型可嵌入宏观或微观仿真器，作为瓶颈模块提高系统整体仿真精度。
• 适应新技术：为考虑自动驾驶车辆或车路协同系统，模型可调整基本图形状或下降率参数，评估自动化提升对吞吐的影响。

局限性方面：

• 假设一一对应：模型假设队长与超密度线性关联，适用于单一瓶颈和均质车道，面对多瓶颈或异质条件时需进一步扩展。
• 参数需校准：基本图参数依赖大量历史数据，不同路段可能存在差异，需要现场校准。
• 不考虑横向流：模型主要针对纵向排队，未纳入合流、擦车等复杂交互，需与细粒度模型结合。

未来研究可考虑放宽假设、引入动态基本图、结合混合车流（人驾与自动驾驶混合）等问题。

七、创新点与结论

总体而言，本文的创新和贡献体现在：

• 首次在流体排队模型中引入基本图一致性约束，将队长映射到超密度，再由基本图推断动态吞吐，克服传统模型容量固定的缺陷。
• 提出多项式和分段两种动态吞吐模型，并推导出队长、等待时间等解析解，提供高效计算方法。
• 提出效率评估框架，可量化需求管理和供给提升策略对延误的影响，为交通管理政策设计提供量化依据。
• 通过实证验证模型优越性，多路段实验表明 FDQ 模型在延误和队长预测方面显著优于传统模型，并具有跨日稳定性。

作者认为，该模型为拥堵管控和交通设施设计提供了新的工具，也为后续研究提供了出流下降建模的基础。

原文链接见文末，或扫下方交流群二维码。群内实时更新推文及原文 pdf，方便专家学者随时获取（若二维码失效，请翻阅扫描最新文章的二维码）。