原文链接见文末，或扫下方交流群二维码。群内实时更新推文及原文 pdf，方便专家学者随时获取（若二维码失效，请翻阅扫描最新文章的二维码）。

无人机﹣货车双向协同配送：考虑禁飞区约束的混合整数非线性优化框架

一　研究背景与问题提出

1.1 货车—无人机协同配送的挑战

  • 需求增长与传统模式局限：电商和应急物流快速发展，传统公路配送受交通拥堵和道路限制影响，难以满足高时效性需求。
  • 协同配送模式兴起：城市空中交通（Urban Air Mobility, UAM）利用低空空间提供快速直达线路，多家企业如 Amazon Prime Air 与美团均在探索无人机配送。
  • 现有研究不足：多数“货车‑无人机”模型聚焦单向配送（送货），忽略退换货等逆向需求，并常假定一车一机、一次只服务一个客户，缺乏针对多车多机的双向运营模型。
  • 禁飞区复杂性：城市中存在动态的时空禁飞区，需根据禁飞时段和范围动态规划绕飞路径，现有模型多忽视这一现实约束。

1.2 研究目标与主要贡献

论文针对上述挑战提出一套混合整数非线性模型（MINLP）及自适应大邻域搜索（ALNS）算法，实现以下创新：

  1. 双向、多车多机协同配送模型：允许多个货车各携带一架无人机，支持配送与取件双向任务，且无人机可在客户节点起降、绕飞禁飞区并在一次飞行中服务多个客户。
  2. 显式考虑禁飞区：基于时空交集判断无人机能否起降与飞行；若在禁飞区内或其飞行路径穿越禁飞区，则采取绕飞或转由货车服务。
  3. 线性化处理与MILP化：将因绕飞导致的非线性距离项线性化，引入辅助变量使模型可用商用求解器求解。
  4. 自适应大邻域搜索算法：在大规模实例中使用ALNS启发式快速获得高质量解，并通过动态权重调整探索破坏和修复算子。
  5. 实证检验与敏感性分析：在Seattle与Buffalo真实数据上验证模型，与纯货车和不绕飞方案相比成本降低4–54%，并分析车辆容量、需求规模、无人机续航、禁飞区参数等对结果的影响。

下图展示了无人机配送的市场实践示例，左图为亚马逊 Prime Air 无人机，右图为国内外卖企业使用的无人机。

图1 无人机配送市场示例（取自Fig.1）
图1 无人机配送市场示例（取自Fig.1）

二　模型与方法

2.1 符号与假设

本文模型考虑一组客户节点集合 ，构建节点集合 ， 和  分别表示始发仓库和终点仓库。货车集 ，禁飞区集 。主要参数与变量如下：

  • 时间与距离： 分别为货车和无人机从节点  到  的行驶距离； 为对应时间； 表示禁飞区  造成的绕飞额外距离。
  • 能耗与成本： 为单位距离能耗； 为无人机无载能耗； 为单位能耗与驾驶员时间成本。
  • 载货需求：客户  的配送需求  和取件需求 。货车载重上限 ，无人机载重上限 。
  • 时间窗与禁飞区：客户最早服务时间 、最晚时间 ；禁飞区  的开始时间 、结束时间 。参数  判定客户是否处于禁飞区； 判定无人机到达时间是否落在禁飞时段。
  • 决策变量：
    • ：货车  是否直接从  到 。
    • ：无人机随货车  是否直接飞行。
    • ：货车  是否在节点  起降无人机。
    • ：节点在货车  路线中的顺序。
    • ：货车在节点  到达时的配送载货与取件载货量。
    • ：无人机在节点  到达时的配送载荷与取件载荷； 为从货车转移后的载荷。
    • ：标识无人机到达节点  时是否在禁飞期前/后； 表示无人机在禁飞期内到达。
    • ：辅助二进制变量，用于线性化含绕飞距离的双线性项。

基本假设包括：无人机仅在仓库或客户处起降；充电时间忽略不计；外部环境对飞行影响忽略。

2.2 目标函数：最小化总运营成本

综合考虑无人机能耗、货车能耗和司机工作时间成本，模型目标函数为：

其中第一项为无人机运输能耗，考虑飞行距离及绕飞距离；第二项为货车能耗；第三项为司机工作时间成本。为了消除非线性项  ，引入辅助变量  满足

满足上述线性约束时， 当且仅当无人机在禁飞期经过禁飞区间  时取值为 1，从而替代原双线性项。

2.3 约束条件与绕飞决策

模型约束极为复杂，涉及车辆路径、作业顺序、载货平衡、时间窗与禁飞约束等。核心约束包括：

  • 路径连续性与子巡回消除：每个客户节点至多由一组卡车–无人机组合访问一次，货车与其配对无人机的路径必须首尾衔接形成完整巡游，不得形成独立子回路。

  • 时间窗约束：货车和无人机到达时间 、 必须在客户服务窗口  内，并考虑无人机起降等待时间。

  • 载荷更新：无人机携带的配送载荷  在飞行到客户后减少，对应取件载荷  增加，货车载荷  在无人机起降点与无人机载荷一致。相关更新关系通过约束 (63)–(73) 表达。

  • 容量限制：无人机到达任何节点时的载重满足 ，货车载重不超过 。

  • 禁飞区判定：若客户  位于禁飞区  且无人机到达时间落入禁飞期，则 ，无人机不得起降，由货车完成服务；若飞行区间跨越禁飞区，则根据  与  判定绕飞并增加额外距离 。

2.4 自适应大邻域搜索（ALNS）求解框架

对于大规模实例，直接求解MILP成本高昂。论文采用 Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) 启发式算法，主要流程如下：

  1. 初始解生成：根据基本路径生成策略创建一组货车与无人机联合路线。
  2. 破坏与修复：随机或有策略地从当前解中删除部分节点（破坏），再用不同插入算子（修复）重新规划路线，算子包括客户重新插入、绕飞重调、货车/无人机任务转化等。
  3. 可接受准则：若新解优于当前最优，则一定接受；若优于当前解但不超过最优，也接受；其他情况按模拟退火概率接受或拒绝。
  4. 动态权重调整：根据每个算子的成功类别（全局改进、当前改进、接受但不改进、拒绝）更新其权重，从而自适应选择高效算子。

该算法在所有实例中能在合理时间内获得高质量解，并可扩展到上百个客户的场景。

三　实验设计与结果分析

3.1 实验设置

利用 mFSTSP 数据集改造的16个实例，分别取自 Seattle 和 Buffalo 城市，客户数量在10、25、50、100 之间。无人机速度为65 km/h，载重上限10 lb，电池容量0.78 kWh；货车载重上限300 lb。ALNS 算法初始温度300，降温率0.99，破坏率30%，最大迭代2000，早停条件为200轮无改进。

3.2 路线规划结果示例

图2 展示了某代表案例的规划结果：货车路线用黑色表示，无人机飞行用彩色线段表示；红色区域为禁飞区，虚线为绕飞路径。

图2 代表案例的路径规划示意（取自Fig.8）
图2 代表案例的路径规划示意（取自Fig.8）

从图中可看出，无人机能够起降于多个客户点，并在需要时绕飞禁飞区；部分客户完全由货车服务。

3.3 综合性能比较

对比 MILP、粒子群优化（PSO）、货车单独配送和不绕飞方案，ALNS 在小规模实例上以不到4秒时间达到 MILP 最优解，在25～100客户的大规模实例中比 PSO 更快且成本更低。与纯货车配送相比，协同模式节省成本4–54%，同时相对“不绕飞”模式进一步降低成本至多21.18%。

3.4 载重与需求敏感性分析

图3 示出了在不同货车载重和需求放大系数下的成本和车队规模变化。

图3 货车载重与需求放大对成本和车队规模的影响（取自Fig.9）
图3 货车载重与需求放大对成本和车队规模的影响（取自Fig.9）
  • 随着货车载重从150 lb 增加到500 lb，总成本和车队数量单调下降，特别是在150–300 lb 区间节约效果最明显。
  • 需求放大系数从0.5增加到1.5时成本显著上升，但随着载重增加，不同需求曲线逐渐收敛。
  • 建议在300–400 lb 的载重范围内运营，以实现成本与车队规模的平衡。

3.5 无人机续航与速度敏感性分析

图4 展示了不同无人机续航（0.60–0.90 kWh）和速度（55–80 km/h）下，总成本随载重变化的趋势。

图4 无人机续航与速度对成本的影响（取自Fig.10）
图4 无人机续航与速度对成本的影响（取自Fig.10）
  • 在固定续航下，提高无人机载重可降低总成本，5–8 lb 区间下降最快；超过12 lb 后收益递减。
  • 续航越高（0.90 kWh）起始成本越低，并在载重增加时下降更快。
  • 提高飞行速度同样降低成本，但当载重超过10 lb 时，速度提升的边际效应减弱。

因此，在8–12 lb 载重、续航与速度适度提升的组合下节约效果最佳。

3.6 禁飞区半径与持续时间分析

图5 展示禁飞区半径扩大（1～4倍）及禁飞期延长对总成本的影响。

图5 禁飞区半径和持续时间对成本的影响（取自Fig.11）
图5 禁飞区半径和持续时间对成本的影响（取自Fig.11）
  • 随着禁飞区半径扩大，总成本显著增加，尤其在小规模实例中增幅更大。
  • 将禁飞期从工作时间延长至全天，会进一步推高成本，但相较半径扩大影响略小。
  • 管理启示：合理规划禁飞区的时间窗口比缩小禁飞范围更加灵活。

四　困难与应对策略

  1. 多目标与非线性耦合：无人机绕飞使得能耗与路径耦合，产生双线性项。论文通过引入二元变量  将该项线性化，从而将原 MINLP 转化为等价的 MILP 模型以便于高效求解。

  2. 禁飞区动态决策复杂：禁飞区具有时空属性，决定无人机是否起降、是否绕飞。模型利用  与  判定无人机在禁飞区内及禁飞时段，并据 、 确定绕飞起止点与绕行距离。

  3. 计算规模大：随着客户数增加，变量与约束量呈指数增长。针对 MILP 难以解决的大规模实例，论文设计了自适应大邻域搜索算法（Adaptive Large Neighborhood Search, ALNS），通过破坏与修复操作快速搜索邻域并动态调整算子权重，提高求解效率。

  4. 随机性与可行解保障：启发式算法可能生成不可行解，ALNS 采用模拟退火接受准则  及绕飞修复机制以确保解的可行性，并通过动态权重调整防止过度探索或早熟收敛。

五　结论与管理启示

综上所述，论文通过构建多车多机协同的双向配送模型，考虑无人机载重能耗与时空禁飞区，提出了线性化处理和自适应大邻域搜索算法。在真实城市数据上，该方法显著降低成本并提高配送效率。主要结论如下：

  • 集成协同配送显著节约成本：与纯货车方案相比，协同模式节省成本4–54%；相较不绕飞方案进一步降低21%的成本。
  • 模型具有良好扩展性：在10~100客户的实例中，ALNS可在几秒至几分钟内获得高质量解，体现出对大规模城市场景的适应性。
  • 决策受关键参数影响显著：增加货车载重或无人机续航、合理设置禁飞区时间窗能有效降低成本；需求激增时需配备较大载重货车以控制成本。
  • 策略选择需平衡多因素：在规划中应综合考虑能耗、时间窗、禁飞区、设备投资和服务质量，采用适当的协同策略和启发式算法以获得综合效益。

管理启示：

  1. 灵活利用无人机与货车资源：企业应根据需求密度与环境限制灵活分配货车和无人机任务，充分利用无人机高效短程配送优势。
  2. 关注禁飞区规则与技术升级：政府和行业应合理划定禁飞区，并提供动态通告；企业可通过升级续航和载重能力、规划绕飞策略应对政策变化。
  3. 采用智能优化算法：在实际运营中，可借鉴ALNS等先进启发式算法快速获得近似最优的协同配送方案，提高运营效率。
  4. 面向可持续发展：双向配送模式不仅满足送货与退换货需求，还能减少车辆运行里程与能耗，为绿色城市物流提供可行路径。

通过本次解读，希望能加深读者对多无人机与多货车协同配送问题及其复杂模型的深入了解，为城市物流与低空经济领域的研究与应用提供参考。

文章须知 

推文编辑：单子叶 

责任编辑：弓仪长

原文链接：https://doi.org/10.1016/j.tre.2025.104511