可靠公交系统设计：基于DRO与混合启发式算法的车道与线路协同优化框架
一、研究背景与问题提出
1.1 公共交通可靠性与专用道部署
城市公交的地位：公交系统在缓解拥堵、环境保护和出行公平方面扮演重要角色。调查显示，约 78% 上海乘客更关注公交到达的可靠性而非绝对时长。 专用道的作用与问题：为了提高公交效率，城市交通部门通过设置公交专用道减少干扰，例如北京–通州快速路设置专用道后，平均行程时间从 26 分钟降至 12 分钟。然而由于几何条件限制和决策过程缺乏需求分析，部分专用道利用率低甚至比普通车道更慢。 统筹部署与线路规划的必要性：现有研究多关注专用道部署或巴士线路调整单一问题，但实际运行中，专用道位置与线路规划交互影响乘客体验和非公交车辆延误，需构建联合优化模型。
1.2 传统模型限制
确定性模型忽视不确定性：大部分巴士专用道部署模型假定行程时间已知，不考虑交通扰动和随机事件，导致模型在现实应用中表现不佳。 经典随机规划依赖分布假设：虽然已有研究将不确定行程时间纳入模型，但通常采用固定分布假设或简单的均值–协方差约束，缺乏对真实数据不完美性的容忍度。 联合机会约束求解困难：目标是最大化在所有公交线路、所有站点内准时到达的联合概率，这涉及高维概率约束，直接求解难度大。
1.3 研究目标与创新
本文旨在构建一个带柔性矩信息集的分布稳健优化（DRO）模型，在不确定行程时间下联立优化专用道部署与公交线路规划，使巴士以最大概率在期望时间窗内到达所有站点，同时控制专用道的预算支出和对普通车辆的负面影响。主要创新点包括：
引入灵活的二阶矩不确定集，通过约束均值和协方差矩阵在椭球和半正定锥内，提升模型对分布偏离的适应性。 提出概率违反风险 (Probability of Violation Risk, PoVR) 指标，将多站点的联合机会约束转化为近似可解的单边约束。 设计两阶段 matheuristic 算法 (TSMA) ，结合黄金搜索调参和混合整数二阶锥规划求解大型网络。
二、模型构建与方法论
2.1 问题建模：公交专用道部署与线路规划
研究考虑一张有向路网，集合 表示道路弧，集合 表示公交线路， 表示各线路的停靠站点。决策变量包括：
：弧 是否设立公交专用道； ：线路 在站点 至下一站 之间是否使用专用道弧 ； ：线路 在站点 至 是否使用普通弧 。
目标函数：最大化在所有线路、所有站点上准时到达的概率。令 为弧 的随机行程时间， 与 分别为线路 在站点 的期望到达时间最早与最迟，则模型的概率目标可概括为：
其中 表示在专用道上的公交行程时间（确定性）， 表示无专用道时的随机行程时间；该目标要求每条线路的所有停靠站都准时到达。
约束体系涵盖：
流约束：保证每条线路从始发站到终点站形成连续路径，停靠站之间有且仅有一条选择的弧。 预算约束：设立专用道的固定及运营成本总和不超过预算 ：
负面影响约束：专用道对普通车辆的总延误不超过容忍值 ：
其中 表示设立专用道后的普通车道延时。
利用率约束：为避免“建而不用”，每条设立专用道的弧需满足预定利用率 ：
二元变量约束：
2.2 期望到达时间窗与客流体验
为方便理解，论文通过一个小型示例说明不同公交专用道部署下的线路方案。下图展示了当前方案与优化方案的差异，其中虚线与实线代表三条公交线路，黑色粗线为专用道：
同时，为避免司机过早到达停靠站导致乘客等待，以及到站过晚导致乘客漏乘，作者定义了上下界组成的期望到达时间窗。如果巴士提前到达，则需在站点等待乘客；若推迟到达，则乘客必须等待甚至错过班车。三种情况如图所示：
2.3 灵活的矩信息不确定集
考虑到历史数据的有限性和可能存在偏差，作者构建了柔性二阶矩不确定集。设历史样本集合为 ，其经验均值和协方差为：
为了保证真实分布的均值与协方差落在一个可接受的范围内，定义如下不确定集：
其中 和 控制不确定集在均值和协方差方向的扩张程度。
2.4 概率违反风险与联合机会约束
为了近似求解高维概率目标，作者引入概率违反风险，其含义是公共汽车到站时间超出期望时间窗的风险。于是问题转化为最小化 ：
并满足联合机会约束（DRO 形式）与变量域：
直接求解该联合机会约束困难，论文采用 Bonferroni 不等式 将其分解为 （等价于 ）个单边约束，并用 二阶锥规划 (SOCP) 进行近似。为了调节各约束的风险分配，引入双重风险参数 、。
三、解决方案与算法设计
3.1 样本平均近似与 MILP-SAA
为了提供基准，对原始概率目标模型采用 样本平均近似 (SAA) 将随机行程时间替换为场景样本均值，得到混合整数线性规划 (MILP-SAA)。该模型求解精度高，但对大型网络计算耗时。
3.2 分布稳健优化模型转化
使用灵活不确定集和概率违反风险，原模型被转换为一个 混合整数二阶锥规划 (SOCP-DRO) 。其中关键转化包括：
将负面影响约束等价表示为二阶锥约束； 对联合机会约束施加 Bonferroni 分解并利用 SOCP 表示； 通过引入决策变量 最小化风险。
3.3 两阶段 Matheuristic 算法（TSMA）
为解决大规模网络的求解效率问题，作者设计了 两阶段 matheuristic 算法 (TSMA) ：
第一阶段：随机初始化决策变量，对 SOCP-DRO 模型进行多次求解。通过随机生成备选方案，并结合黄金搜索调整参数 ，筛选出表现良好的候选集，提高求解多样性与鲁棒性。
第二阶段：基于候选集采用邻域搜索和交叉变异操作改进解。若迭代达到预定次数仍未取得改善，则保留当前最佳方案。
与 SAA、适应性蒙特卡洛启发式算法 (MSMA) 和 Bonferroni 校正法相比，TSMA 能在合理时间内获得高质量的近似最优解。
四、案例分析与结果讨论
4.1 小型示例与期望时间窗
示例说明：图1 展示了当前与优化方案的差异；优化方案通过重新规划路线和设置少量专用道，使三条线路的准时到达率显著提高。【上文图1】 期望到达时间窗：图2 中的三种场景展示了早到、准时、晚到情况下乘客和车辆等待时间的变化，强调必须统筹司机与乘客等待时间。【上文图2】
4.2 Sioux Falls 网络实验
4.2.1 网络结构
Sioux Falls 网络包含 24 个节点、76 条弧和 5 条公交线路，是交通规划的经典基准。图3给出该网络的结构，其中灰色节点代表公交站点，白色节点为中间节点。
4.2.2 SAA 与 DRO 部署方案比较
在三种行程时间分布（正态、Poisson、均匀）下，采用 MILP-SAA 和 SOCP-DRO 得到的专用道部署方案如图4所示。上三幅为 SAA 在不同分布下的方案，下图为 DRO 的方案。相比之下，DRO 方案更侧重于关键枢纽和高频弧，用蓝色箭头标识。
4.2.3 Poisson 分布下的部署与线路方案
为了验证模型的决策价值，作者在 Poisson 分布下进一步给出专用道部署与公交线路规划，如图5，左图显示布设的专用道，右图展示线路1、线路2的行驶路线，虚线表示第二条线路。
4.2.4 灵活不确定集效应
图6 对比了在不同 参数组合下，采用 灵活不确定集 与传统均值–协方差集的出样性能。可见蓝色曲线（柔性集）显著优于红色曲线（传统集），且在 处达到峰值约 93%。
4.2.5 不同时间窗下的预算与负面影响
图7 显示当到达时间窗分别为宽松、中等、紧凑时，随预算提高（左）和负面影响门槛提高（右），出样性能、成本和负面影响的变化。结果表明：
宽松时间窗下性能较高，但成本和负面影响都较大； 紧凑时间窗下性能随预算增长幅度较小； 随负面影响容忍度增加，性能和成本均显著上升。
4.2.6 相对性能随参数变化
图8 展示在 Poisson、正态和均匀三种分布下，期望到达窗紧度（负面影响阈值 ）和预算 变化对覆盖率 (CL)、服务率 (SL) 与可靠度 (RL) 的影响。结果表明适度的时间窗和适当的预算组合能兼顾效率与可靠性。
4.3 Fuzhou Gulou 区大型网络
4.3.1 区域地图与基础数据
作者进一步在福州鼓楼区 42 个节点、144 条弧的大型网络上验证模型。图9 给出了该地区的地图及七条公交线路示意。
4.3.2 当前与优化方案对比
在预算 400,000 元和最大负面影响 1,500 秒的设定下，采用 TSMA 生成的最优部署方案如图10(b)。为比较效果，还列出了当前方案如图10(a)。可以看出，优化方案减少了冗余公交专用道，增加了枢纽路段（蓝色箭头），线路更为顺畅。
进一步比较两个方案的成本与负面影响，如图11 所示。优化方案在提高可靠性的同时将专用道成本降低至 36×10^4 元左右，负面影响减少到约 1200 秒，显著优于当前方案。
五、技术难点与应对策略
联合机会约束求解困难：在高维状态空间中，计算所有线路、所有站点准时到达的联合概率极为复杂。 作者通过引入概率违反风险 ，并利用 Bonferroni 不等式将联合约束分解为单边约束，转化为 SOCP 可解形式。
分布不确定性描述：历史样本量有限会导致均值与协方差估计偏差。为此提出以椭球和半正定锥限制均值与协方差的柔性不确定集，通过参数 调节保守度。
算法效率问题：混合整数二阶锥规划求解复杂，尤其在大规模网络中。两阶段 matheuristic 算法结合随机初始化、黄金搜索和邻域搜索，可在有限时间内找到高质量近似解。
六、管理启示与政策建议
合理规划预算与时间窗：从图7和图8可见，在中等预算和适度时间窗下能兼顾成本与可靠性。在预算有限时，应优先保障主干线路的准时到达；当负面影响容忍度高时，可放宽时间窗提升服务率。 动态调整不确定集参数：参数 决定模型对均值与协方差的不信任程度。通过交叉验证或黄金搜索对其调优，可获得更鲁棒的方案。实践中可根据历史数据可信度设置较大的 。 整合专用道与线路规划：案例结果显示，在大型网络中，将专用道位置与公交线路路径统一优化可显著提升覆盖率和准时率，并减少运营成本与负面影响。 风险指标纳入管理：PoVR 指标提供了定量评估公交准时风险的方法，可用于制定服务承诺和考核指标，辅助交通部门在不同季节和交通状态下调整专用道策略。
七、总结与展望
本文从公交专用道与线路规划的联合视角出发，构建了一个基于分布稳健优化的公交服务可靠性模型。通过引入柔性矩信息不确定集和概率违反风险指标，将复杂的联合机会约束转化为可解的二阶锥规划，并提出两阶段 matheuristic 算法求解。实证结果表明，该模型在 Sioux Falls 和福州鼓楼区两类网络上均显著提升公交准时率，降低成本和负面影响。
未来研究可探索：① 将模型扩展到考虑乘客动态需求和车内拥堵；② 引入实时交通信息和车辆跟踪系统实现在线优化；③ 结合道路容量约束和多模式交通协调，进一步提升公共交通的吸引力和系统效率。
文章须知
推文编辑：单子叶
责任编辑：弓仪长
原文链接：https://doi.org/10.1016/j.trb.2025.103322
