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铁路网络更新与列车运行冲突的系统求解：基于双层优化与流量分配的协同方法

一、研究背景与问题提出

长期基础设施更新是铁路运输系统的重要保障，但大型项目的实施往往伴随长时间封锁、容量下降和巨额投入。现有规划工具通常将每个项目独立处理，忽略组合影响和全网效应，缺乏对交通影响的定量评估。论文针对以下需求展开研究：

目标与挑战：在既有铁路网络中安排升级或大修项目，既要保证项目按时完成，又要最小化对列车运行的干扰。
规划任务：给定一张铁路网络、预期交通需求及一组升级项目，每个项目由多个工作任务组成，且具备持续时间和资源需求。需决定每个任务的起止时间，使得资源、容量、时序等约束得到满足，并使项目取消、资源使用及交通影响的综合成本最小。
研究贡献：提出一种双层优化框架，上层负责项目排程，下层解决交通流路由；开发了适用于长时间范围的流量模型；在北部与西南部瑞典两个案例上验证模型性能。

论文将项目排程与交通流路由分离，通过迭代协调实现两者互馈。下图展示了整体框架。

图中，上层根据未受干扰的交通流初步安排升级项目；下层根据该排程生成受到容量限制的交通调整结果，并将造成的拥堵惩罚反馈给上层。两层交替求解直至收敛。

二、模型构建与求解框架

2.1 项目排程模型（上层）

上层模型以混合整数线性规划（MILP）描述工作任务的时间安排和资源配置。主要特征如下：

任务表示与重复：每个项目由有序的工作任务构成，可允许某些任务重复多次。为提高建模效率，模型允许将多个相同的小任务抽象为一个重复序列，使变量数量与内存需求降低。
决策变量：

：项目中任务在时间段是否正在执行。
：任务开始的二元变量，用于控制任务之间的间隔。
：项目是否取消。
：时间段对链路的容量封锁程度，由排程决定。

目标函数：综合考虑项目取消成本、资源使用成本及对交通造成的容量阻塞成本。形式化表达如下：

其中为容量阻塞成本函数，它依赖于排程造成的封锁、下层模型反馈的容量使用及相应影子价格。

约束条件：包括（1）任务必须按指定次数执行；（2）正在执行的任务与开始变量相互约束，保证连贯性；（3）每个任务的持续时间固定，且重复任务之间满足最小间隔；（4）资源使用不得超过可用数量等。

模型关键是通过变量关联和约束确保任务按序、按时、资源充足地完成。下图给出了排程变量的可视化示例：横轴为时间段，任务的三个重复出现用蓝色框标识。

2.2 交通流指派模型（下层）

下层模型刻画在给定项目排程下列车如何在网络中运行，其关键为分层时空网络流描述：

时间离散化与流类型：将时间划分为长度为 1–6 h 的均匀区间，假设每条链路的旅行时间小于时间段长度。对于每条链路，在时间段上的流可以分为三种：
这些流之间遵循基本流连续性约束，禁止从前一时间段的流直接跳到下一时间段，从而保持行程连贯。

直接流：在同一时间段内出发并到达。
前向流：在时间段出发，到达。
节点库存流：列车在节点停留，跨越时间段。

路由层概念：对每个交通关系（起点、终点、列车类型），预先生成若干候选路径，每个路径对应一个层。通过给每层的节点赋予最短相对旅行时间，可以限制不同时段可到达的流量，从而保证正确的旅行时间。
决策变量：

取消量与推迟量：表示关系在时间段取消或推迟的列车数量。
路径选择变量：某关系沿某路径在时间段内发出的列车数量。
直接流、前向流及节点库存流变量、、。

目标函数：最小化取消、推迟及旅途延长等造成的成本，加上一些运行成本和超出行程时间的惩罚。
约束：确保每种关系的需求得到满足（取消+推迟+完成量 = 需求）；流量守恒；链路容量（包含上层给出的封锁量）；旅行时间限制等。

为了避免列车流跨越多个时间段出现跳跃，模型通过如图 3 所示的流结构限制直接流与前向流的组合，其中禁止“跨越障碍”的箭头标识了可能出现的跳跃问题。

另外，图4示意了两条相邻链路的直接流与前向流的关系，包括列车在节点停留的情况。

2.3 双层协调机制

上层排程需要考虑交通影响，而下层交通指派又依赖于排程结果，论文通过以下步骤实现协调：

初始化：上层模型根据未受干扰的交通流估计容量阻塞成本，通过求解得到初始排程。
交通调整：下层模型在给定排程下优化列车流，输出取消量、推迟量与实际流量，并计算每条链路的容量使用和影子价格。
成本更新：根据下层返回的容量使用和影子价格计算新的阻塞成本，将其作为上层目标函数的一部分。
迭代求解：上层重新求解排程，更新排程后再次调用下层，直至两层的排程与流量均保持不再改变或达到预设的收敛条件。

作者指出，为了让规划者更好地理解迭代过程，本研究在案例中采用了人工交互式的逐步求解，而非完全自动化流程，这样可以观察每轮调整对排程和交通的影响。

三、案例与实验分析

论文在瑞典铁路网络的多个场景上测试了该方法，包括小型测试网络、北部案例及西南案例。

3.1 数据处理与网络构建

研究基于瑞典基础设施管理机构 Trafikverket 的数据，采用以下流程：

数据聚合：按照区域和线别将几百个车站和链路进行聚合，生成适用于战略规划的网络；对于本研究两个主案例，分别得到北部网络（SE‑N，51 个节点、107 条链路）和西南网络（SE‑SW，49 个节点、112 条链路）。整张瑞典网络共有 224 个节点、274 条链路作为比较。
任务提取：从 Excel 表格中识别主要更新项目和子任务，人工输入任务的最早开始、最晚结束及重复间隔等排程限制。
生成路径：对每个交通关系预先计算在可能的封锁组合下的最短路径，作为交通指派模型的候选路径集。

两个案例网络如图5所示，北部网络和西南网络分别用于不同的研究问题。

此外，为验证模型的正确性，作者设计了一个只有 8 个节点、9 条链路的小型网络（图6）用于测试排程约束和流模型的正确性。

3.2 模型验证与性能测试

在小型网络上分别测试项目排程模型、交通指派模型及二者集成。结果表明：

排程模型：包含 15 个任务的排程问题在 5–16 秒内可以求得最优解，随着任务重复次数增多，模型规模和封锁成本均相应增长。
交通模型：对应的交通指派问题含约 2059 个变量和 1824 个约束，在 1 秒内求解。
集成模型：通过迭代，两层模型在 2–3 次迭代内收敛。整体成本由项目成本与交通成本组成，示例中无重复任务的方案与有重复任务的方案相比，交通成本略高，但项目成本明显降低。

3.3 北部瑞典案例：不同项目方案比较

北部案例关注一项大型的电气化系统更新工程，地点位于 Bräcke–Långsele (Bä–Lsl)。研究比较以下方案：

方案 A：连续 10 周封锁 Bä–Lsl 链路；
方案 B：每日封锁 8 小时，持续几个月；
组合方案：在方案 A 或 B 的基础上，增加对其他两条链路的每日 6–8 h 封锁（Sundsvall–Hudiksvall 和 Boden–Gällivare）。

方案的位置和时间配置如图7所示，黄色方框表示封锁时段。

为了评估对关键列车的影响，作者对远程钢铁货运列车和夜间客运列车进行手工运行图分析。在图8中，横轴表示时间，纵轴表示地理位置，斜线代表列车运行轨迹，两条不同颜色的轨迹表示通过不同路线（内陆线或海岸线）。

交通模型的求解表明，方案 B 的日间封锁对列车影响分散，方案 A 则在集中封锁期间产生显著影响。根据单个方案和组合方案的比较，模型可以识别需要调整的列车数量并推荐绕行路径。表格汇总结果（文中表 5）显示，某些方案组合产生明显的组合效应，需要在排程上进行错峰。

然而，在该案例中出现了流不连贯问题：长距离列车在被迫绕行时，部分流量会被分割成分数列车（非整数），导致行程中出现“空洞”，如图9所示。左图显示一列车被拆分成四段，右图则仅在接近终点时出现轻微分散。

这种不连贯会低估实际的容量占用，作者指出需在未来研究中改进模型，使流保持整数性或通过其他机制强制连贯。

3.4 西南瑞典案例：主干线项目排程

西南案例针对 2024 年计划在哥德堡–哈尔斯贝里–隆德三角主干线上的所有重大项目，分阶段开展实验：

单项目分析：对每个项目单独优化，采用 6 h 时间段。大部分项目在 1–3 分钟内求得最优排程，但部分含有大量短任务且排程灵活度高的项目无法在限定时间内收敛，需要在后续步骤中集中处理。
大封锁筛选：将时间段改为 24 h，只考虑长于 12 h 的大型封锁。模型能在 15–60 分钟内求得高质量解，为精细排程提供初始布局。
精细排程：选择 10 个主要项目，在 4 个月内的 17 周窗口中进行 8 h 时间分辨的排程。项目位置及封锁时段如图10所示，图中标注了各项目编号、作业次数和持续时间。