装载计划下的集装箱重定位问题：结合精确算法与自注意力强化学习的研究
一、研究背景与问题提出
1.1 集装箱码头的挑战与研究意义
全球贸易迅猛增长，约 75%国际贸易依赖集装箱运输。箱量预计在2025年达到10亿TEU，并保持约3%的年增长率。 集装箱在堆场垂直堆叠，起重机只能操作顶层集装箱。为取出目标箱，必须先搬离其上的障碍箱，这造成了 集装箱重定位（container relocation）的高成本与时间消耗。 重定位作业主要受三个因素影响：初始堆场配置、箱子的提取顺序和重定位策略。过去的研究常假定提取顺序固定。
1.2 CRP 与 CRPSP 的发展
块重定位问题（CRP）着眼于在给定提取顺序下最小化重定位次数。 随着自动化集装箱终端（ACT）发展，研究者提出在预定装载计划下优化提取顺序的 带存储计划的集装箱重定位问题（CRPSP）。目标是在遵守堆场与船舶装载约束的前提下，决定“先取哪一个箱子、搬到哪一堆”，以减少重定位。 本文引入一个新的实际约束：靠近海岸线的船舶堆高度不得超过远离海岸线的堆高度。这一约束源于岸桥司机视线遮挡的问题，传统的内至外“栈堆加载”规则可能导致盲区。
1.3 研究目标与贡献
建立CRPSP的 混合整数规划（MIP）模型，从理论上精确定义问题。 在A* 算法基础上设计可提供 最优解的图搜索框架，并构建下界评估函数指导搜索。 结合 Proximal Policy Optimization (PPO) 强化学习，引入基于下界的奖励机制，并利用 自注意力机制 提升模型对堆叠状态的表征能力。 首次将 集成学习（Majority Voting 与 Stacking）应用于 CRPSP 的强化学习模型，探讨多模型结合的效果。
二、问题建模与数学模型
2.1 主要假设
研究只考虑一个堆场区与船舶单舱作业，起重机跨舱移动时间远大于舱内移动。 重定位与转运两类操作：重定位指把箱子从某一堆顶搬到另一堆顶；转运指将箱子从堆场搬到船舶目标位置。 目标是在满足新提出的高度约束下，确定每次搬移的箱子及其目标堆。
2.2 数学模型
决策变量与目标函数通过对堆场与船舶堆栈编号，可将系统状态用三维二元变量 表示：若在时间 将容器 放在堆 的第 层，则取1，否则为 0。另用二元变量 表示时间 是否从堆 重定位到堆 。
模型的目标可抽象表示为：
其中第一项衡量最终状态与目标状态的差异，第二项为重定位次数；作者采用权重比 。
上式为模型目标的简化表达形式，旨在直观说明优化的两项核心目标： 一是保证最终堆场状态与装载计划的一致性，二是尽量减少重定位操作的频次。 在正式建模中，作者将该目标函数进一步线性化，引入更多约束条件与辅助变量，构建了可通过混合整数规划（MIP）精确求解的完整模型
关键约束
该模型为 NP 难问题，难以直接用于大规模实例求解。
起始堆和终止堆不同，避免无效操作。 每个时刻每个箱子仅在一个位置；每个位置至多放一个箱子。 每个时刻只允许一次搬移或转运操作。 通过辅助变量定义堆高、状态转移和目标状态，保证搬移有效。 高度约束：靠岸堆高 不超过远离岸的堆高 。 所有变量均为整数或二元变量。 示意图下图展示了堆场与船舶舱位的标号示例，以及目标标签对堆场初始状态进行编号的方法，便于统一目标配置。
图1 集装箱作业中的目标与障碍箱示意图 下图展示了船舶舱内靠岸堆高不得超过外侧堆高的可行操作与不可行操作对比。
图2 作业可行与不可行示例（取自Fig.5） （图中绿色为可行，红色为违反新约束的操作）
三、A*算法与下界评估
3.1 图模型与状态扩展
将每一个堆场–船舶堆栈配置视为一个节点，起始节点为初始堆场，目标节点为完全装载状态。 在节点之间，通过 重定位 操作产生新节点。对可直接转运的箱子，算法优先执行转运，缩小搜索空间。 图的边权为操作次数，A* 算法在该图上寻找最短路径。
流程图示例：
圆圈表示真实节点，虚圈为仅进行重定位后的临时状态
3.2 下界评估函数
A* 搜索需要评估函数 ，其中 为已执行操作数， 为估计剩余操作数。
构建有向图
在堆场中，若容器 堆叠在 上，则添加边 ；在装载计划中，若 位于 之上，则添加边 。 对于靠岸栈高度约束，近岸容器到远岸容器也添加方向边。 该有向图中，两容器形成的 二元环 的数量给出了下界，表示至少需要多少重定位才能打破这些依赖。 评估函数定义邻接矩阵 (A) 表示边关系，则存在二元环当且仅当 。下界函数为
其中 为 Kronecker δ 函数。
下图示例展示了由堆场和装载计划构建的有向图以及找环过程。
3.3 算法复杂度与性能
当堆数为 时，每个节点可产生 个重定位动作，分支因子 ，搜索深度 与重定位次数相关。最坏情况下时间复杂度与空间复杂度均为 。 A* 适用于中小规模问题。实验结果表明，当箱量为15个、堆高不超过5层时，A* 平均求解时间为0.1–0.8s，而MIP求解需要数十秒到数千秒。
因此，在求解大规模实例时，作者进一步引入强化学习框架，通过策略优化与自注意力机制提升求解速度与泛化能力。下面分别介绍 A* 算法在 CRPSP 中的实现与强化学习框架的构建。
四、强化学习方法与奖励机制
4.1 PPO算法与策略梯度
强化学习模型的策略表示为 ，目的是最大化期望回报 。策略梯度定理给出了梯度估计：
其中 为优势函数，利用广义优势估计 （GAE） 可减小方差。
PPO采用 裁剪策略 避免策略更新过大，其目标函数为
其中 。
4.2 状态、动作与奖励定义
状态表示：将堆场状态编码为矩阵 ，行表示堆号，列表示堆层，元素为集装箱编号，不存在则为0。 动作空间：动作 表示从堆 的顶层重定位至堆 的顶层 。 状态转移：代理执行重定位后，环境自动将可直接装载的箱子转运，返回新的状态。 奖励函数：为了鼓励减少无用搬移并尽快消除环，设计奖励
或者进一步展开为：
其中 为时刻 堆场剩余集装箱数。该奖励既惩罚每一步操作，又鼓励减少环和直接装载容器。
图中展示了两种动作对应的奖励变化：打破环的动作获得更高奖励，有助于快速收敛。
4.3 自注意力网络结构
为处理堆场矩阵的空间依赖，作者在 Actor–Critic 网络中引入自注意力机制。 给定输入状态矩阵 ，通过线性变换得到 查询（Q）、键（K）和 值（V）：
其中 为可训练矩阵。注意力权重为
用于捕捉堆场各行之间的关联。
这一机制大幅提升了收敛速度和解的质量。实验对比详见第五节。
自注意力强化学习框架示意：
五、集成学习方法
5.1 多代理投票（Majority Voting）
训练多个独立的PPO模型 ，在每个决策步骤将各个模型的动作视为“投票”，选取出现次数最多的动作：
投票机制可显著降低单模型的波动性，在实验中将解的Gap减少近一半，且稳定性提高。
5.2 堆叠集成（Stacking）
构建由 A* 算法生成的最优解轨迹作为标签。 将多模型输出的动作概率向量拼接为特征矩阵 ，以最优动作为标签，训练监督学习模型（XGBoost）预测最终动作。 实验表明，在 CRPSP 场景下，Stacking 模型准确率约为 50–60%，低于投票方法。这是因为强化学习可探索多种同样最优的策略，而监督模型依赖单一标签，导致泛化能力不足。
Stacking 流程示意：
六、实验设计与结果分析
6.1 对比算法与实验设置
硬件平台：Intel Core i7 CPU，NVIDIA RTX4090 GPU。 实例生成：堆数 4–11个，箱数 10–30个。 比较算法：MIP求解器(Gurobi)、A*、PPO、集成方法、前瞻贪心算法。主要评价指标包括平均解质量(Gap)、求解时间(T)。
6.2 MIP与A*求解效率
MIP 在小规模实例上求得最优解，但随规模增长求解时间急剧增加。例如，当堆数 7、堆高 3、堆宽 5时，Gurobi 求解时间达 1777s 以上。 A* 在相同实例上仅需约 0.5–2.3s。因此本文利用 A* 作为生成标签和基准。
6.3 PPO与奖励机制
PPO 代理在 200 个 15 箱实例上平均求解时间仅 0.0035s，Gap 约 7.33%，方差极小。A* 平均时间为 0.845s 但 Gap 为 0。
当箱数增至 30 个时，A* 1000s 内成功率仅 20%，PPO 成功率超过 50%，求解时间仍小于 0.1s。
奖励函数比较：设计的下界奖励显著缩短收敛时间。下图显示设计奖励在每个实验组中的收敛长度分布（深色表示设计奖励，浅色为简单奖励）：
图8 收敛长度分布（取自Fig.11） 收敛长度差异图进一步表明设计奖励在绝大多数实验组合中获得更快的收敛速度（正值越大表示设计奖励更优）。
图9 收敛差异分布（取自Fig.12）
6.4 自注意力机制的效果
在对比 5个带注意力模型与5个不带注意力模型的实验中，前者平均收敛迭代仅为 81–173次，Gap 约 5–7%，而后者需 1000–2241次迭代才能收敛，Gap高达 18–36%。 虽然自注意力引入了少量计算开销，但性能提升显著，是一种有效的结构改进。
6.5 学习率与剪切参数的影响
实验分析不同学习率 和剪切参数 对收敛的影响。图中示例显示，在较低学习率下，设计奖励的收敛速度比简单奖励更敏感且更快（黄色和粉色曲线较浅蓝和浅绿曲线低）：
图10 不同学习率下平均收敛比较（取自Fig.13） 类似地，不同剪切参数或折扣因子组合的实验也表明，设计奖励总能取得更低的平均收敛长度（图中黄色/粉色曲线低于蓝色/绿色曲线）：
图11 PPO参数组合影响示意（取自Fig.14） 
图12 PPO剪切参数影响示意（取自Fig.15）
6.6 集成学习效果
投票集成在 200个实例上将 Gap 从单模型的 7.33%降至约 3–4%，解稳定性明显增强。 Stacking 模型准确率约为 50–60%，未能显著提升性能。 与前瞻贪心算法相比，投票集成在所有实例上获得更小的 Gap，但耗时略长。
七、研究结论与管理启示
理论贡献：本文首次在 CRPSP 中综合使用 MIP 建模、A* 图搜索、PPO 强化学习和集成学习。基于A* 下界的奖励机制有效提升了强化学习模型的收敛速度和解释性，证明了利用精确算法信息指导学习的重要性。 实践价值：A* 算法为中小规模问题提供最优解；PPO 模型在大规模实例上具有极快的求解速度和稳定性。对于实际码头操作，可根据堆场规模选择合适算法，或采用集成方案在求解质量和时间之间取得平衡。 技术启示：自注意力机制能够捕捉堆场内栈之间的相互依赖关系，显著提升强化学习效果。集成方法中的投票机制比 Stacking 更加适合强化学习模型的组合。 未来研究：在更复杂的码头场景下，可探索 对比学习、课程学习 等训练策略进一步缩短收敛时间；另外，可将遗传算法、模拟退火等算法融合到集成框架中，以提升多模型集成的性能。
文章须知
推文编辑：单子叶
责任编辑：弓仪长
原文链接：https://doi.org/10.1016/j.tre.2025.104048
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