应急设施选址的鲁棒性：多期决策与不确定需求

论文题目：Distributionally robust multi-period location-allocation with multiple resources and capacity levels in humanitarian logistics

第一作者：Yang Yongjian 西南财经大学管理科学与工程学院讲师，主要研究方向包括智能决策与优化、生产与物流运营管理等。

E-mail：yyongjian@swufe.edu.cn

通讯作者：王杜娟 四川大学商学院工业工程与管理系教授，教育部重要人才计划青年学者、四川省重要人才计划领军人才、四川省特聘专家，《Complex & Intelligent Systems》副主编、《Modern Supply Chain Research and Applications》执行主编、国内重要期刊《运筹与管理》编委，长期从事生产与物流运作管理、商务智能与数据挖掘等领域研究。

E-mail：djwang@scu.edu.cn

应急设施选址的鲁棒性：多期决策与不确定需求

论文摘要

本文研究针对自然灾害中救援设施选址与救援资源分配的优化问题。灾害发生后，受灾地区对基本资源（如食品、水、帐篷）和紧急资源（如药品、血液、医疗器械）需求骤增。由于需求、成本与运输时间高度不确定，传统的确定性或简单随机模型难以保证决策的可靠性。作者基于分布鲁棒优化（DRO）构建了一个包含多个时间周期、两类资源、多档容量的选址‑分配模型。模型通过设计模糊集合来刻画紧急需求和运输时间的分布范围，既利用部分统计信息，又避免对概率分布做过强假设。为克服大规模混合整数线性规划求解困难，论文开发了基于Benders分解的分支‑割算法，并通过引入“内外割”生成、对偶提升、对偶变量归一化等策略提升算法效率。数值实验比较了分布鲁棒模型与随机模型、确定性模型的表现，结果表明鲁棒模型在成本略高的情况下显著降低了不满足约束的风险。同时，通过四川九寨沟地震案例验证了模型的适用性和决策价值。

一、研究背景与问题定义

1.1 人道主义物流的挑战

• 天灾频发造成大量人员受灾，例如2016–2020年全球有6.0224亿人受到自然灾害影响。
• 灾后短时间内需求激增，基本资源与紧急资源之间存在显著差异：基本资源需求可通过卫星估计人口等方式较为准确预测，而紧急资源需求存在个体差异、类型多样且难以精确估计。
• 人道物流决策不仅关注运营成本，还注重效率（满足需求的程度）和公平性（各地区获得服务的公平程度）。
• 与商业物流不同，救援资源短缺或延迟可能造成生命损失，因此对紧急资源的交付时间有严格的概率保证需求。

1.2 问题定义与模型假设

作者考虑一个有限规划周期  内，选择若干潜在救援设施  ，向受灾区域  分配两类资源。主要假设包括：

• 每个设施存储基本资源和紧急资源，两者分别具有多档库存容量。
• 设施可在不同周期关闭或重新开启，开启时付出固定成本。
• 所有受灾区都需要基本资源，且基本需求被视为已知；只有部分地区需要紧急资源，且其需求服从未知分布，但可以估计需求区间与期望。
• 允许基本资源在某些周期短缺，短缺将产生罚金；为公平起见，每个区域的缺货周期数量受限。
• 紧急资源必须在截止时间前按概率不少于  的要求满足，逾期将产生惩罚性迟延成本。
• 运输时间依赖道路和天气等外因，其分布同样不确定，仅有部分统计信息。

根据上述假设，作者提出在设施选址、容量决策及资源配送上的综合优化框架，以同时最小化运营成本、提高效率并兼顾公平。

二、模型构建与理论框架

2.1 分布鲁棒模糊集合

为描述紧急需求的分布不确定性，作者构建了如下模糊集：

其中 为第  期区域  的紧急需求， 与  为需求均值区间， 为绝对离差界。同理，运输时间的模糊集合  通过均值和离差约束定义，保证模型在有限信息下仍具备保守性和灵活性。

2.2 多目标决策函数

模型的目标是最小化总成本，由以下部分组成：

• 运营成本：包括设施初次建设和重新开启的固定成本，以及两类资源的运输成本。
• 公平性指标：由两部分构成：①对基本资源每个区域未供应的惩罚；②在所有可能运输时间分布下，紧急资源未能及时到达的最坏期望迟延成本。
• 效率指标：对各区域未满足基本需求的总量。

在约束方面，模型要求各设施在各期状态互斥（建设、重新开启或关闭）；库存量不得超过所选容量；基本资源的供需平衡与供货次数公平约束；而关键的分布鲁棒机会约束确保紧急需求在所有可能分布下以至少  的概率满足。

三、求解方法：Benders分解与改进策略

3.1 混合整数线性化与Benders框架

由于分布鲁棒机会约束和最坏期望迟延成本导致模型含非线性项，作者通过一系列辅助变量及对偶转换将其转化为可求解的混合整数线性规划（MILP）。然而，该模型包含指数规模的约束，直接求解不可行。论文采用Benders分解将模型拆分为主问题与子问题，迭代生成有效割以逐步逼近最优解。

3.2 提升算法效率的策略

标准Benders算法在复杂问题中收敛缓慢，作者提出三项改进：

• 内外割生成：同时利用当前主问题的最优解与已知可行解构造中间分割点，生成更强的Benders割，减少割的数量。
• 对偶提升：针对子问题的对偶变量采用替代解法，消除对偶退化现象，使得生成的割更紧。
• 对偶变量归一化：通过约束对偶变量的规模，避免割系数过大导致的数值不稳定。

同时，作者在分支‑割框架下结合Benders算法，对每个节点求解限制主问题并生成割，从而加速整体求解。

四、数值实验与敏感性分析

4.1 分布鲁棒模型的优势

作者将分布鲁棒模型（DRM）与随机模型（SM）和确定性模型（DM）进行比较。结果表明，DRM虽然平均总成本较高（比SM高5.08%），但在10 000个外样本测试中，DRM的平均总成本仅为18 058.58，明显低于SM和DM；并且DRM的风险为0，即所有外样本均满足约束，而SM和DM的风险分别为0.34%和48.40%。这说明忽略不确定性可能导致巨大风险，DRM能在成本可接受的情况下提供更可靠的决策。

4.2 模糊集合参数对决策的影响

作者分析了模糊集合参数对总成本（ATC）、平均迟延惩罚（AEPT）等指标的影响。下图展示了当需求均值上下界参数  和离差系数 变化时的趋势：随着需求不确定性增大，两项指标普遍增加，但 对成本的影响较小，说明模型对需求波动具有一定缓冲能力。

此外，研究发现运输时间模糊集合参数  与 增加时，总成本和迟延成本呈先快速上升后趋缓的趋势。对基本需求缺货惩罚参数  和不供货惩罚参数  的敏感性分析揭示了效率与公平之间的权衡；扩大需要紧急资源的区域比例会同时提高效率和公平性，但过大比例会加重紧急资源 tardiness 惩罚。

4.3 算法性能评估

在标准Benders算法（BD）与添加不同改进策略的版本比较中，引入三项策略的综合算法（BDHS）在多种规模实例下都显著减少了迭代次数和平均求解时间。例如，规模为  时，BDHS 的平均求解时间约为70秒，而标准BD需要约117秒，并且平均间隙从20.83%降至5.43%，验证了改进策略的有效性（详见表格3）。

五、九寨沟地震案例分析

5.1 数据设置与场景描述

为了验证模型的现实适用性，作者以2017年九寨沟7.0级地震为案例。受灾县包括九寨沟(JZG)、若尔盖(REG)、松潘(SP)、平武(PW)、汶川(W)、红原(HY)、舟曲(ZQ)和迭部(DB)等。选取地震烈度≥5度的县作为需求点，潜在救援设施包括非受灾地区的大中城市（成都、绵阳、资阳）和靠近震区的小城市（广元、陇南）。模型规划了灾后五天的救援布局，考虑不同设施容量和运输时间不确定性。

下图是九寨沟地震烈度分布图：

5.2 结果解读

案例分析表明，最优方案在首日同时启用成都和绵阳等大城市设施，以满足巨大的基本与紧急需求，随后依据需求下降逐渐关闭部分设施。由于非受灾城市设施容量大且成本低，模型倾向在早期优先使用这些设施，而位于震区周边的小城市因距离近在后期被重新启用以降低迟延成本。整体决策能够兼顾成本、效率与公平，为实际救援提供有价值的决策参考。

六、创新点与结论

6.1 论文亮点

• 综合考虑两类资源与多档容量：首次在分布鲁棒框架下同时处理基本和紧急资源，并允许设施有不同容量选择，贴近实际操作。
• 分布鲁棒机会约束：构建基于均值‑离差信息的模糊集合，并将其转化为线性约束，使模型在缺乏完整分布信息时仍能保证紧急需求满足概率。
• 改进的Benders算法：提出内外割、对偶提升、对偶归一化三种策略，显著提升求解效率。
• 丰富的敏感性与案例研究：通过实验分析重要参数对成本与公平性的影响，揭示了需求和运输不确定性的调节作用，并用九寨沟地震实证验证模型的实用价值。

6.2 主要结论

本文证明了在救灾决策中采用分布鲁棒优化的重要性：尽管会略微增加前期成本，但能够显著降低在不利情况下的风险。模型不仅在理论上提供了处理多资源、多容量多期选址‑分配问题的新方法，还通过算法上的改进确保其在实际规模问题上的可行性。案例分析说明，该模型能够为灾后救援提供科学的设施布局与资源调配方案，兼顾效率、公平和成本三重目标。

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