道路阻断下救援物流：母机—子机无人机协调与DRO模型

论文题目：Distributionally robust scheduling optimization for pharmaceutical delivery using coordinated mother-end drones under post-earthquake road disruptions

第一作者：赵来军“沪江领军人才”特聘教授，博士生导师 ，上海理工大学管理学院院长、管理学院党委副书记、智慧应急管理学院执行院长，上海系统科学研究院执行院长，上海交通大学中国城市治理研究院双聘教授，上海市工程管理学会理事长。主要研究领域：突发事件应急管理、环境与能源管理、物流管理。

E-mail：ljzhao@usst.edu.cn

通讯作者：Qin Huang 上海理工大学管理学院，研究方向突发事件应急管理。

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道路阻断下救援物流：母机—子机无人机协调与DRO模型

论文摘要

该研究聚焦于强震引发的道路中断情境下的药品应急配送问题。震后严重的路网破坏和通讯受阻使传统地面运输难以满足黄金72小时内的救援需求。尽管无人机具有机动性强、垂直起降和绕行障碍的能力，但单一无人机受限于载荷、航程及效率，难以承担大规模任务。因此，作者提出协调的母机–子机无人机体系：母机负责长距离运输和投放子机，子机承担“最后一公里”配送。面对需求不确定性和天气诱发的飞行时间波动，文中构建了一个基于K‑均值聚类的分区方法和两阶段分布鲁棒优化（DRO）模型，在有限历史数据下用均值和方差刻画不确定变量。模型通过机会约束和线性化技巧转化为可求解的混合整数线性规划，并在2025年缅甸M7.9地震案例中验证其可靠性和成本优势，显示出相较于确定性、经典随机规划和传统鲁棒优化模型的显著优越性。

一、研究背景与核心问题

1.1 灾后药品配送的挑战

• 道路破坏与信息滞后：震后道路和桥梁损毁、通讯中断，导致救援资源无法通过传统方式快速抵达。
• 需求和天气不确定性：受伤人数难以准确预测，且风速、气流等气象因素影响飞行时间。
• 单机能力受限：普通无人机载荷小、续航短，无法一次覆盖大范围区域。
• 黄金救援窗口：在72小时内迅速投放医疗物资至受灾点是减少二次伤害的关键。

这些因素共同构成了在极端情境下的人道主义物流调度难题。

1.2 核心问题与研究目标

作者致力于解决两个互相关联的关键问题：

• 区域划分与资源预置：在道路完全中断情况下，如何利用K‑均值算法将受灾区域划分为若干区域，并选定临时母机降落点（聚类中心）以降低问题规模和飞行距离。
• 不确定环境下的调度决策：在需求与飞行时间分布未知的情况下，如何通过分布鲁棒优化框架制定母机与子机的调度、路线与库存决策，使得在最坏情况下仍可保证任务完成且成本可控。

最终目标是构建一个端到端的决策工具，兼顾成本最小化、服务可靠性与风险控制。

二、方法框架与模型构建

2.1 研究流程与整体框架

下图为研究的整体流程：首先根据受灾地区的坐标和情景触发条件进行聚类预处理，随后进入两阶段优化模型，第一阶段确定母机数目、物资分配以及子机数量，第二阶段对每个区域进行子机路线与调度优化，并利用统计信息构建不确定性集合。

图2显示了从数据输入、区域划分、两阶段优化到结果输出的全过程。

2.2 不确定性建模与模糊集合

由于震后数据稀缺，文中采用基于矩信息的模糊集合来刻画飞行时间  和需求 。对于飞行时间，构建的模糊集合  满足以下条件：

其中  是支持集，限定了时间的上下界和辅助变量  的关系。需求的不确定集合  类似地通过需求均值  和方差约束  定义。这种描述方式无需假设具体分布形式，仅依赖第一、二阶矩信息，兼顾保守性与灵活性。

在两阶段模型中，第一阶段决定母机数量、临时仓库（聚类中心）库存及子机投放；第二阶段针对每个区域求解子机路线与调度，并计算在不确定时间下的最坏拖延成本。为了求解最坏拖延成本，作者证明该风险项可转换为等价的线性规划：

这一式子表示对子机在路径  下超过黄金时间  部分的最坏期望损失。

2.3 K‑均值聚类与模型求解

为了减少问题规模和提升计算效率，作者先对受灾地点执行K‑均值聚类：将经纬度标准化后迭代分配，直到簇中心收敛。通过SSE‑K曲线分析不同  值下簇内平方误差的下降趋势，在拐点  时降幅明显降低，因此选取五个聚类。

并根据聚类结果确定五个临时仓库。下图展示了聚类方案下  的灾区空间分布，每个颜色代表一个区域：

母机在聚类中心降落后投放子机完成局部配送，从而大幅缩减总航程，减轻调度难度。

2.4 模型求解与线性化

由于模型包含二阶段决策和随机变量，直接求解困难。文章通过以下策略提高可行性：

• 对机会约束和风险函数进行线性化，将非线性项转化为混合整数线性约束；
• 利用Benders 切割法和商业求解器 Gurobi 解决大规模整数规划；
• 在案例计算中先固定聚类结果，再分别求解各区域子问题并汇总，总体算法能在合理时间内获得最优或近优解。

三、案例研究与结果分析

3.1 案例设置与数据来源

作者以2025年缅甸7.9级地震为案例，选取受灾最严重的66个城镇作为需求节点。各镇的受伤人数按震级对人口比例进行估计，并假设每个医疗包可服务30人。下图呈现了震级分布与受灾区域：

母机和子机参数基于实际工业和军用无人机，黄金救援时间设置为72小时。模型假设需求和飞行时间的均值与区间来自先前灾害历史、专家经验及实时监测。

3.2 聚类与路由结果

通过SSE‑K分析确定使用五个聚类，并将66个城镇划分为五个区域。每个区域对应一个临时仓库，并通过母机–子机两级协同完成药品投放。下图为某区域中子机的典型配送路径示例，路线避免重叠且尽量覆盖所有受灾点，体现了子机调度的精细化特点：

3.3 不同风险偏好下的成本分析

为了衡量模型在不同风险偏好（信心水平 ）下的表现，作者进行了敏感性分析。主要发现包括：

• 当  从0.1增至0.9时，总成本下降约0.93%，尤其是第一阶段成本显著下降，原因是风险容忍度提高后减少了冗余库存和母机数量。
• 第二阶段成本变化较小，显示时间损失主要受天气和航程限制，而非风险偏好所驱动。
• 总体而言，分布鲁棒模型（DRM） 相较于确定性模型（DM）与样本平均随机模型（SPM）更稳定、更节约成本，虽然在第一阶段调动了更多母机，但对最坏情况下的总成本控制优越。

四、创新点与学术贡献

1. 母机–子机协作机制与两阶段决策集成：首次将重载母机与轻型子机的协作配送机制引入震后药品物流，提出基于聚类的分区策略并结合两阶段调度，兼顾长期部署与即时操作。

2. 矩信息驱动的分布鲁棒建模：在缺乏充足数据的情形下，使用基于均值和方差的模糊集合刻画需求和飞行时间的不确定性。相比传统随机或鲁棒模型，该方法既避免过度乐观，也抑制过度保守，提供概率保证。

3. 模型线性化与求解效率提升：通过引入辅助变量和线性化技巧，将最坏期望成本和机会约束转化为可求解的混合整数线性规划。

4. K‑均值聚类与运营耦合：通过SSE‑K分析确定合适的簇数，使空间分布和运营效率得到平衡；聚类中心作为母机降落点，可显著降低路线复杂度。

5. 实证验证与管理启示：在缅甸地震案例中验证模型可行性，并从风险偏好、资源配置、物流效率等角度提供决策建议。

五、讨论与启示

• 风险偏好调节策略：救援决策者可通过调整信心水平  控制模型的保守程度；高  对应风险容忍、成本较低但可能出现少量供应短缺，低  则更为安全但成本偏高。
• 母子机匹配与区域规模：当受灾区域增多时，合理划分聚类数目并匹配适量母机和子机是降低时间损失的关键。
• 天气监测与信息更新：实际操作中应结合实时气象数据动态调整飞行时间估计，以减少第二阶段时间延迟。
• 发展更灵活的救援网络：模型框架可以扩展至多中心、异构无人机或与地面交通结合的混合网络，适用于更复杂的灾害情景。

六、总结与展望

本文针对强震后道路完全中断的应急药品配送难题，构建了结合K‑均值聚类与两阶段分布鲁棒优化的无人机调度模型，利用母机–子机协同机制应对大范围需求，并通过矩信息刻画不确定性。案例分析表明该模型在保障服务质量的同时显著降低了成本，相较传统模型表现更优。

未来研究可在以下方面深化：

• 引入实时数据驱动的动态调度，使模型适应灾情变化；
• 考虑多种类型物资或多目标优化，平衡成本、效率和公平性；
• 探索更复杂的不确定性描述（如Wasserstein度量等），提升模型适用性。

该研究为灾后无人机救援物流提供了系统性的决策框架和实践依据，为应对极端自然灾害提供了可行的技术路线。

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