公交干线与无人机支线的协同调度：城市末端物流的多式联运设计

末端配送如何兼顾成本与效率？

在城市快递高峰期，骑着电动车穿梭在拥堵的道路上，快递员要在短时间内完成海量的包裹投递；公交车 空载驶过，而客户焦急等待。传统的卡车送货难以兼顾成本、效率和环保需求。

随着无人机技术和共享交通理念的兴起，能否用现有公交网络为无人机铺设 “空陆联运通道” ，既利用公交闲置运力，又拓展无人机的服务半径？如何 协调公交装卸货、无人机起降和客户时间要求 ，构建高效、低碳的末端配送系统？

论文摘要

论文提出一种 融合公交和无人机的城市末端配送系统 ：利用公交车在非客运高峰期间将包裹运送至公交站的储物柜，然后由无人机从储物柜出发直接送达客户。文章首先给出了一个紧凑的 混合整数线性规划(MILP)模型 ，目标是在满足客户截止时间的条件下 最小化公交运营成本、无人机固定与飞行成本以及储物柜的货物存放成本 。

由于传统 MILP 使用大‑M 线性化导致求解困难，作者进一步构建了 包含指数多列的两段式模型 ，并提出 “分枝–定价–Benders‑切割” （Branch‑Price‑and‑Benders‑Cut，BPBC）算法，通过列生成和 Benders 分解相结合求解大规模实例。文中还设计了暖启动、界定与修正、有效不等式和启发式策略等加速技巧。数值实验基于武汉市实际公交线路数据生成实例，结果表明BPBC比直接用 CPLEX 求解 MILP 快数倍并能获得更优解。文末通过对不同成本参数、储物柜数量和无人机服务半径的敏感性分析，为城市物流管理提供决策参考。

一、问题背景与研究动机

1.1 城市末端配送面临的挑战

• 快递增长带来压力：全球包裹量快速增长，传统卡车配送面临交通拥堵、停车难等问题。
• 公交运力闲置：城市公交在非高峰期有冗余容量，可用于运送包裹；但公交固定线路难以满足最后一公里配送。
• 无人机优势与限制：无人机可直接送达客户，不受道路约束，但续航里程和载荷有限，服务范围较小。
• 运输方式割裂：单独优化公交或无人机会导致资源浪费，急需整合两者形成协同效应。

1.2 研究目标

本文提出 “公交–无人机多式联运”模式 ，通过让公交车将包裹运送至公交站的储物柜，再由无人机完成上门配送，实现“第一段公交+最后一段无人机”的联运。研究目标包括：

• 设计一个统一模型同时优化公交运输、储物柜调度和无人机飞行。
• 通过算法克服多式联运中组合决策维度大、时间约束复杂的问题。
• 在真实公交数据生成的实例上验证模式的经济性和环保优势。

下图展示了该系统的整体框架：

二、模型构建与方法设计

2.1 混合整数规划模型

作者首先将问题表示为混合整数线性规划 MILP1，其中决策变量包括：（公交  是否将客户  的包裹在站点  卸载）、（无人机  在储物柜  服务客户  与客户  的前后关系）、（无人机  是否从储物柜  起飞）等。其目标函数最小化公交运费、无人机固定及飞行成本与储物柜持有成本：

其中  为公交单位货运成本， 为无人机为该包裹付出的飞行成本， 为无人机固定成本， 为包裹在储物柜的持有成本。

主要约束包括：

• 每个客户仅被服务一次：
• 公交车容量限制以及每站卸载箱数限制。
• 无人机行程约束保证起止于同一储物柜，且总飞行时间不超过电池容量。
• 时间关系约束确保无人机只能在公交车到站且卸货完成后起飞，且服务完成时间不晚于客户截止时间。

由于大‑M 线性化导致松弛界不佳，直接求解 MILP1 对大规模实例非常困难。

2.2 两列式模型与分枝定价–Benders 切割

为克服 MILP 的维度困难，论文提出基于列生成的两阶段模型。首先定义作业列（assignment）表示一辆公交在某站卸载一组客户包裹，并计算该列的成本；定义飞行列（flight）表示一架无人机的完整服务序列，并计算对应成本。通过选择哪些作业列和飞行列组成解，原问题可表示为：

其中  和  是是否选取作业列和飞行列的二元决策，约束确保每个客户分配且车辆容量等条件满足。

由于作业列与飞行列之间的耦合导致组合可能性巨大，作者将其视为两阶段决策，利用Benders 分解将耦合约束转换为一组动态添加的 Benders 切割。整体求解流程如下图所示：

该算法的核心步骤包括：

• 主问题：选取一部分作业列，得到当前的列组合决策。
• 定价子问题（列生成）：针对主问题的对偶价格，求解作业列和飞行列的最短路带资源约束问题（ESPPRC）以产生负简化费用的列。文中采用标签算法并通过支配规则加速搜索。
• Benders 切割子问题：固定作业列组合后，对每个储物柜求解无人机调度问题，计算对偶解并生成 Benders 切割约束。
• 分枝策略：若主问题解仍含分数值，按客户分配、公交分配和无人机顺序三类变量进行分枝，构建分枝定价树搜索。

2.3 算法加速策略

为提升 BPBC 的求解效率，作者提出多种增强技巧：

• 暖启动策略：根节点用贪婪算法初始化一组作业列，内部节点继承父节点列及切割信息以减少初始迭代次数。
• 界定与修正策略：利用当前最优上界，通过下界大于上界时剪枝，并跳过无法带来成本改进的公交–站组合。
• 有效不等式：加入简洁的有效不等式，对无人机数量的下界提供估计，改善主问题线性松弛。
• 启发式上界：在分枝节点用现有列构建整数程序快速求解可行解，用作上界提高剪枝效率。

三、数值实验与结果分析

3.1 实例生成与实验设置

论文基于武汉市一条公交线路（32 个站、93 分钟行程、非高峰期 31 班次）生成测试实例：选择 6 或 8 辆公交负责货运，随机挑选 6 或 8 个站设置储物柜，并在 20×16 km² 区域内随机布置客户，确保每位客户在至少一个储物柜的服务半径内。每件包裹重量 0.5–4.5 kg，满足无人机载重限制；无人机最高续航 120 分钟，规划区间 10:00–18:00。使用欧氏距离计算无人机飞行时间，公交货运费用取 1.0 美元/公里，无人机飞行费用 2.0 美元/公里，固定成本 40 美元/天。下图给出了测试实例示意图：

3.2 算法性能比较

实验分为两组：第一组包括 6 辆公交、6 个储物柜，客户数量为 18、27、36、45；第二组为 8 辆公交、8 个柜，客户数 60 或 80。对比对象包括 CPLEX 直接求解 MILP1、本文 BPBC 算法以及顺序优化（先公交再无人机）策略。主要发现如下：

• BPBC 性能显著优于 CPLEX：对于客户数从 18 到 45 的 40 个实例，BPBC 在平均 419 秒内全部求得最优解，而 CPLEX 随客户数增加求解时间暴增，客户数 45 时无法在 3600 秒内找到最优解。
• 算法增强带来的加速：不同配置下，暖启动、界定与修正、有效不等式以及启发式的加入显著缩短了求解时间。完整的 BPBC 平均求解时间比未增强版本减少 49%。
• 顺序优化的劣势：顺序优化忽略无人机成本在公交分配中的影响，虽然求解极快（0.19 秒），但总成本比 BPBC 高出 2.3%，说明联合优化的重要性。
• 大规模实例的启发式：针对 60 和 80 个客户的实例，完整 BPBC 时间较长，作者提出仅在根节点执行列生成并直接求解的启发式 HBPBC，能在几百秒内获得接近最优的解，比 CPLEX 提高约 10%～20% 的成本优势。

3.3 敏感性分析与管理启示

3.3.1 环境效益分析

比较公交‑无人机系统与传统卡车配送的碳排放，结果如表所示。虽然公交本身排放较高，但其线路既定，增载包裹不会增加额外排放；无人机排放极低（平均 0.7 kg CO₂），综合看随着客户数量增加，公交‑无人机模式的相对排放优势愈发明显。若采用电动卡车，排放仍高于无人机，因此结合公交的低边际排放和无人机零排放优势，该模式在环境上具有竞争力。

3.3.2 成本参数影响

论文系统地改变公交和无人机单位运营成本（0.5～3.0 倍），得到总成本的热力图。如图所示，成本对公交运营成本更敏感；在较高包裹重量的情况下，公交成本变化带来的总成本提升明显，而无人机成本变化影响较小，说明利用公交扩展无人机覆盖可以提升无人机服务的盈利性。当二者运营成本都低于约 2 美元/公里时，系统能保持较高利润空间。

此外，针对无人机第二阶段成本中的持有成本  与最大作业时长 ，论文分析了二者对 BSP 成本的影响。结果显示提高持有成本会显著推高 BSP 成本，而延长无人机作业时长的作用较小。这意味着在客户量大、持有成本高的场景下，应提升无人机效率或增加无人机数量，以减少包裹滞留时间。

3.3.3 储物柜数量与服务范围

对于储物柜配置，实验在 20、30、40 位客户的场景下调整柜子数量 5–8 个，发现增加柜子可以降低总成本，但当柜子数量达到一定密度（如 7 个）后，成本下降趋于平缓。因此决策者应在基础设施投资与成本收益之间权衡，选择适度数量的储物柜。

针对无人机服务半径，测试了服务范围从 8 km 增加到 12 km 的情况。随着范围增大，总成本呈下降趋势，但超过 10.4 km 后下降速度明显放缓，因为无人机会优先服务近处客户，远端客户的纳入收益较小。因此购买更大续航的无人机在超过某一阈值后回报递减。

四、结论与创新点

4.1 研究结论

• 新模式的提出：论文首次系统研究公交与无人机联合用于城市末端配送的多式联运模式，利用公交扩展无人机服务范围、降低成本并改善碳排放。
• 精确模型与高效算法：提出了紧凑的 MILP1 与含指数多列的两阶段模型，结合列生成和 Benders 分解，设计了 BPBC 算法并通过暖启动、修正等策略大幅提升求解效率。
• 显著性能提升：大量仿真实例表明，BPBC 能在几分钟内求解 45 个客户实例的最优解，比 CPLEX 快一个数量级；联合优化带来的成本节约约 2%–6%，启发式版本在大规模实例中仍保持优越性。
• 管理启示：敏感性分析指出，应重点控制公交运价和储物柜持有成本；合理配置储物柜数量和无人机续航可以在成本与投资之间取得平衡；公交‑无人机模式在环保方面具有明显优势。

4.2 创新与亮点

• 模式创新：把公交这一公共服务设施引入物流领域，利用其固定路线和闲置容量与无人机协同，实现绿色、高效的末端配送。
• 算法融合：将列生成与 Benders 分解结合到分枝定价框架中，针对不同阶段设计双层定价问题，提出一套完整的分枝‑定价‑Benders‑切割流程。
• 加速技术：通过暖启动、界定与修正、有效不等式和启发式求解等多种技巧显著提升算法在大规模实例上的效率。
• 综合评估：在性能比较、成本灵敏度分析和环境评估基础上，给出关于成本参数、储物柜配置和无人机服务范围的实际决策建议。

综上，这篇论文为城市物流提供了一个富有前景的公交–无人机多式联运方案，并通过精巧的模型和算法证明了其在经济性和可持续性方面的优势，为未来进一步考虑与卡车联合、多线路调度及随机需求的不确定优化问题奠定了基础。

文章须知 

推文编辑：单子叶 

责任编辑：张仁义

原文链接：https://doi.org/10.1016/j.tre.2025.104538